Номер 28, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 6. Системы линейных неравенств с одной переменной - номер 28, страница 60.

Условие.

28. Решите неравенство:

1) $|x - 9| + 3x \geq 12;$

Решение.

Раскрывая знак модуля, получаем:

$\begin{cases} x - 9 \geq 0, \\ x - 9 + 3x \geq 12 \end{cases}$ или $\begin{cases} x - 9 < 0, \\ -x + 9 + 3x \geq 12 \end{cases}$

Далее имеем:

Ответ:

2) $|3x - 6| - 5x < 16.$

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $|x - 9| + 3x \geq 12$

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем, которые получаются при раскрытии знака модуля.

1) Если подмодульное выражение неотрицательно:
$\begin{cases} x - 9 \ge 0, \\ x - 9 + 3x \ge 12 \end{cases}$
Решим эту систему:
$\begin{cases} x \ge 9, \\ 4x \ge 21 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 9, \\ x \ge 5.25 \end{cases}$
Пересечением этих двух условий является $x \ge 9$. Таким образом, решение в первом случае: $x \in [9; +\infty)$.

2) Если подмодульное выражение отрицательно:
$\begin{cases} x - 9 < 0, \\ -(x - 9) + 3x \ge 12 \end{cases}$
Решим эту систему:
$\begin{cases} x < 9, \\ -x + 9 + 3x \ge 12 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 9, \\ 2x \ge 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 9, \\ x \ge 1.5 \end{cases}$
Пересечением этих двух условий является $1.5 \le x < 9$. Таким образом, решение во втором случае: $x \in [1.5; 9)$.

Общее решение неравенства является объединением решений, полученных в обоих случаях:
$[9; +\infty) \cup [1.5; 9) = [1.5; +\infty)$.

Ответ: $[1.5; +\infty)$.

2) $|3x - 6| - 5x < 16$

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем, которые получаются при раскрытии знака модуля.

1) Если подмодульное выражение неотрицательно:
$\begin{cases} 3x - 6 \ge 0, \\ 3x - 6 - 5x < 16 \end{cases}$
Решим эту систему:
$\begin{cases} 3x \ge 6, \\ -2x < 22 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2, \\ x > -11 \end{cases}$
Пересечением этих двух условий является $x \ge 2$. Таким образом, решение в первом случае: $x \in [2; +\infty)$.

2) Если подмодульное выражение отрицательно:
$\begin{cases} 3x - 6 < 0, \\ -(3x - 6) - 5x < 16 \end{cases}$
Решим эту систему:
$\begin{cases} 3x < 6, \\ -3x + 6 - 5x < 16 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2, \\ -8x < 10 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2, \\ x > -\frac{10}{8} \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2, \\ x > -1.25 \end{cases}$
Пересечением этих двух условий является $-1.25 < x < 2$. Таким образом, решение во втором случае: $x \in (-1.25; 2)$.

Общее решение неравенства является объединением решений, полученных в обоих случаях:
$[2; +\infty) \cup (-1.25; 2) = (-1.25; +\infty)$.

Ответ: $(-1.25; +\infty)$.