Номер 22, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 6. Системы линейных неравенств с одной переменной - номер 22, страница 54.

Условие.

22. Найдите область определения выражения:

1) $\sqrt{4x + 18} + \sqrt{9 - 2x}$;

Решение.

Искомая область определения — это множество решений системы неравенств $\begin{cases} 4x + 18 \geq 0, \\ 9 - 2x \geq 0. \end{cases}$

Ответ:

2) $\sqrt{3x - 9} + \sqrt{2 - x}$;

Решение.

Ответ:

3) $\frac{5}{x - 6} + \sqrt{4x - 24}$;

Решение.

Искомая область определения — это множество решений системы неравенств $\begin{cases} x - 6 \neq 0, \\ 4x - 24 \geq 0. \end{cases}$

Ответ:

4) $\sqrt{5x + 4} + \frac{2}{\sqrt{2 - 3x}}$;

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $\sqrt{4x + 18} + \sqrt{9 - 2x}$

Решение.

Область определения выражения задается условиями, при которых все подкоренные выражения неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 4x + 18 \ge 0, \\ 9 - 2x \ge 0. \end{cases}$

Решим каждое неравенство в системе:

1) $4x + 18 \ge 0$

$4x \ge -18$

$x \ge -\frac{18}{4}$

$x \ge -4,5$

2) $9 - 2x \ge 0$

$-2x \ge -9$

$x \le \frac{-9}{-2}$

$x \le 4,5$

Таким образом, мы ищем пересечение решений $x \ge -4,5$ и $x \le 4,5$. Это соответствует отрезку на числовой прямой.

Ответ: $[-4,5; 4,5]$.

2) $\sqrt{3x - 9} + \sqrt{2 - x}$

Решение.

Подкоренные выражения должны быть неотрицательны. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x - 9 \ge 0, \\ 2 - x \ge 0. \end{cases}$

Решим систему:

$\begin{cases} 3x \ge 9, \\ -x \ge -2; \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge 3, \\ x \le 2. \end{cases}$

Не существует значения $x$, которое одновременно было бы больше или равно 3 и меньше или равно 2. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (пустое множество).

3) $\frac{5}{x - 6} + \sqrt{4x - 24}$

Решение.

Область определения задается двумя условиями: знаменатель дроби не должен быть равен нулю, и подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Составим систему:

$\begin{cases} x - 6 \ne 0, \\ 4x - 24 \ge 0. \end{cases}$

Решим систему:

$\begin{cases} x \ne 6, \\ 4x \ge 24; \end{cases}$

$\begin{cases} x \ne 6, \\ x \ge 6. \end{cases}$

Из второго неравенства следует, что $x$ должен быть больше или равен 6. Первое условие исключает значение $x = 6$. Объединяя эти условия, получаем, что $x$ должен быть строго больше 6.

Ответ: $(6; +\infty)$.

4) $\sqrt{5x + 4} + \frac{2}{\sqrt{2 - 3x}}$

Решение.

В этом выражении есть два условия: подкоренное выражение в первом слагаемом должно быть неотрицательным, а подкоренное выражение в знаменателе второго слагаемого должно быть строго положительным (так как оно находится под корнем и в знаменателе).

$\begin{cases} 5x + 4 \ge 0, \\ 2 - 3x > 0. \end{cases}$

Решим систему:

$\begin{cases} 5x \ge -4, \\ -3x > -2; \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge -4/5, \\ x < 2/3. \end{cases}$

Пересечением этих решений является полуинтервал.

Ответ: $[-4/5; 2/3)$.