Номер 20, страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 6. Системы линейных неравенств с одной переменной - номер 20, страница 53.

Условие.

20. Найдите наименьшее целое решение системы неравенств

$\begin{cases} 2x - \frac{x-2}{5} > 4 \\ \frac{x}{2} - \frac{x}{8} \le 9 \end{cases}$

Решение.

Ответ:

Решение.

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решение первого неравенства

Решим первое неравенство системы: $2x - \frac{x-2}{5} > 4$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$5 \cdot 2x - 5 \cdot \frac{x-2}{5} > 5 \cdot 4$

$10x - (x-2) > 20$

Раскроем скобки. Важно помнить, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее.

$10x - x + 2 > 20$

Приведем подобные слагаемые в левой части.

$9x + 2 > 20$

Перенесем 2 в правую часть с противоположным знаком.

$9x > 20 - 2$

$9x > 18$

Разделим обе части на 9.

$x > 2$

Решением первого неравенства является интервал $(2; +\infty)$.

Решение второго неравенства

Решим второе неравенство системы: $\frac{x}{2} - \frac{x}{8} \le 9$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 8.

$\frac{4 \cdot x}{8} - \frac{x}{8} \le 9$

$\frac{4x - x}{8} \le 9$

$\frac{3x}{8} \le 9$

Умножим обе части неравенства на 8. Знак неравенства не изменится.

$3x \le 9 \cdot 8$

$3x \le 72$

Разделим обе части на 3.

$x \le 24$

Решением второго неравенства является полуинтервал $(-\infty; 24]$.

Нахождение наименьшего целого решения системы

Решение системы неравенств — это пересечение решений обоих неравенств. Таким образом, $x$ должен одновременно удовлетворять условиям $x > 2$ и $x \le 24$.

Это соответствует двойному неравенству $2 < x \le 24$.

Множество решений системы — это полуинтервал $(2; 24]$.

В задаче требуется найти наименьшее целое решение. Целые числа, которые принадлежат этому промежутку, — это 3, 4, 5, ..., 24.

Наименьшим из этих целых чисел является 3.

Ответ: 3