Номер 24, страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 6. Системы линейных неравенств с одной переменной - номер 24, страница 56.

Условие.

24. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} -1 \le \frac{5x+1}{4} < 4, \\ \frac{x+1}{3} - \frac{x-2}{2} \ge 1; \end{cases}$

Решение.

$\begin{cases} -1 \le \frac{5x+1}{4} < 4, \quad |\cdot 4 \\ \frac{x+1}{3} - \frac{x-2}{2} \ge 1; \quad |\cdot 6 \end{cases}$

Ответ:

2) $\begin{cases} -5 \le \frac{-3x-1}{2} < 2, \\ \frac{x-1}{2} - \frac{x+1}{3} \le -1. \end{cases}$

Решение.

Ответ:

Решение.

1)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} -1 \le \frac{5x+1}{4} < 4 \\ \frac{x+1}{3} - \frac{x-2}{2} \ge 1 \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство:

$-1 \le \frac{5x+1}{4} < 4$

Умножим все части двойного неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 4 > 0, знаки неравенства не меняются.

$-1 \cdot 4 \le 5x+1 < 4 \cdot 4$

$-4 \le 5x+1 < 16$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-4 - 1 \le 5x < 16 - 1$

$-5 \le 5x < 15$

Разделим все части неравенства на 5. Так как 5 > 0, знаки неравенства не меняются.

$\frac{-5}{5} \le x < \frac{15}{5}$

$-1 \le x < 3$

Решение первого неравенства в виде промежутка: $x \in [-1, 3)$.

Теперь решим второе неравенство:

$\frac{x+1}{3} - \frac{x-2}{2} \ge 1$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 6, чтобы избавиться от дробей. Так как 6 > 0, знак неравенства не меняется.

$6 \cdot \frac{x+1}{3} - 6 \cdot \frac{x-2}{2} \ge 1 \cdot 6$

$2(x+1) - 3(x-2) \ge 6$

Раскроем скобки:

$2x + 2 - 3x + 6 \ge 6$

Приведем подобные слагаемые:

$-x + 8 \ge 6$

Вычтем 8 из обеих частей:

$-x \ge 6 - 8$

$-x \ge -2$

Умножим обе части на -1, при этом изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le 2$

Решение второго неравенства в виде промежутка: $x \in (-\infty, 2]$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $[-1, 3) \cap (-\infty, 2]$.

Найдем пересечение этих промежутков. Это все числа, которые одновременно больше или равны -1 и меньше 3, а также меньше или равны 2. Объединив эти условия, получаем: $-1 \le x \le 2$.

Ответ: $[-1, 2]$

2)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} -5 \le \frac{-3x-1}{2} \le 2 \\ \frac{x-1}{2} - \frac{x+1}{3} \le -1 \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство:

$-5 \le \frac{-3x-1}{2} \le 2$

Умножим все части двойного неравенства на 2:

$-5 \cdot 2 \le -3x-1 \le 2 \cdot 2$

$-10 \le -3x-1 \le 4$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-10 + 1 \le -3x \le 4 + 1$

$-9 \le -3x \le 5$

Разделим все части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-9}{-3} \ge x \ge \frac{5}{-3}$

$3 \ge x \ge -\frac{5}{3}$

Запишем в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-\frac{5}{3} \le x \le 3$

Решение первого неравенства в виде промежутка: $x \in [-\frac{5}{3}, 3]$.

Теперь решим второе неравенство:

$\frac{x-1}{2} - \frac{x+1}{3} \le -1$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 6:

$6 \cdot \frac{x-1}{2} - 6 \cdot \frac{x+1}{3} \le -1 \cdot 6$

$3(x-1) - 2(x+1) \le -6$

Раскроем скобки:

$3x - 3 - 2x - 2 \le -6$

Приведем подобные слагаемые:

$x - 5 \le -6$

Прибавим 5 к обеим частям:

$x \le -6 + 5$

$x \le -1$

Решение второго неравенства в виде промежутка: $x \in (-\infty, -1]$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $[-\frac{5}{3}, 3] \cap (-\infty, -1]$.

Найдем пересечение этих промежутков. Это все числа, которые одновременно больше или равны $-\frac{5}{3}$ и меньше или равны 3, а также меньше или равны -1. Объединив эти условия, получаем: $-\frac{5}{3} \le x \le -1$.

Ответ: $[-\frac{5}{3}, -1]$