Номер 13, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 7. Повторение и расширение сведений о функции - номер 13, страница 72.

Условие.

13. Найдите область значений функции.

1) $f(x) = |x| - 4$

Решение.

Поскольку выражение $|x|$ принимает все значения из промежутка $[0; +\infty)$, то выражение $|x| - 4$ принимает все значения из промежутка _______.

Следовательно, $E(f) = $ ______.

2) $f(x) = 7 - x^2$

Поскольку выражение $-x^2$ принимает все значения из промежутка _______, то выражение $7 - x^2$ принимает все значения из промежутка _______.

Следовательно, $E(f) = $ ______.

3) $f(x) = \sqrt{x} + 12$

Поскольку при $x \in [0; +\infty)$ выражение $\sqrt{x}$ принимает все значения из промежутка $[0; +\infty)$, то ______.

4) $f(x) = \sqrt{x+4} + \sqrt{-x-4}$

Решение.

Область определения данной функции — множество решений системы неравенств

$\begin{cases} x+4 \ge 0, \\ -x-4 \ge 0. \end{cases}$

Решение.

1) $f(x) = |x| - 4$

Решение.

Поскольку выражение $|x|$ принимает все значения из промежутка $[0; +\infty)$, то выражение $|x| - 4$ принимает все значения из промежутка $[-4; +\infty)$.

Следовательно, $E(f) = [-4; +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [-4; +\infty)$.

2) $f(x) = 7 - x^2$

Поскольку выражение $-x^2$ принимает все значения из промежутка $(-\infty; 0]$, то выражение $7 - x^2$ принимает все значения из промежутка $(-\infty; 7]$.

Следовательно, $E(f) = (-\infty; 7]$.

Ответ: $E(f) = (-\infty; 7]$.

3) $f(x) = \sqrt{x} + 12$

Поскольку при $x \in [0; +\infty)$ выражение $\sqrt{x}$ принимает все значения из промежутка $[0; +\infty)$, то выражение $\sqrt{x} + 12$ принимает все значения из промежутка $[12; +\infty)$. Следовательно, область значений функции $E(f) = [12; +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [12; +\infty)$.

4) $f(x) = \sqrt{x + 4} + \sqrt{-x - 4}$

Решение.

Область определения данной функции находится из условия, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств: $x + 4 \ge 0$ и $-x - 4 \ge 0$.

Решим эту систему. Из первого неравенства $x + 4 \ge 0$ следует, что $x \ge -4$.

Из второго неравенства $-x - 4 \ge 0$ следует, что $-x \ge 4$, что эквивалентно $x \le -4$.

Единственное значение $x$, которое удовлетворяет обоим условиям ($x \ge -4$ и $x \le -4$) — это $x = -4$.

Таким образом, область определения функции состоит из одной точки: $D(f) = \{-4\}$.

Чтобы найти область значений, необходимо вычислить значение функции в этой единственной точке:

$f(-4) = \sqrt{-4 + 4} + \sqrt{-(-4) - 4} = \sqrt{0} + \sqrt{4 - 4} = 0 + 0 = 0$.

Поскольку функция определена только в одной точке, ее область значений состоит из одного числа.

Ответ: $E(f) = \{0\}$.