Номер 15, страница 73, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 7. Повторение и расширение сведений о функции - номер 15, страница 73.

Условие.

15. Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2, \text{ если } |x| \le 1 \\ -\frac{1}{x}, \text{ если } |x| > 1 \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком единственную общую точку.

Решение.

Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } |x| \le 1, \\ -\frac{1}{x}, & \text{если } |x| > 1. \end{cases}$

Функция является кусочно-заданной. Рассмотрим каждый участок отдельно.

1. При $|x| \le 1$, что эквивалентно $-1 \le x \le 1$, функция задается формулой $y = x^2$. Графиком является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Нам нужна только часть этой параболы на отрезке $[-1, 1]$. Найдем значения на концах отрезка:
При $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$.
При $x = 1$, $y = 1^2 = 1$.
Таким образом, на этом участке график представляет собой дугу параболы, проходящую через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

2. При $|x| > 1$, что эквивалентно $x < -1$ или $x > 1$, функция задается формулой $y = -\frac{1}{x}$. Графиком является гипербола, ветви которой расположены во втором и четвертом координатных квадрантах.
- При $x > 1$ (правая ветвь): График находится в четвертом квадранте. При $x$, стремящемся к 1 справа ($x \to 1^+$), значение $y$ стремится к $-\frac{1}{1} = -1$. Точка $(1, -1)$ не принадлежит графику, так как неравенство строгое (обозначается выколотой точкой). При увеличении $x$ ($x \to +\infty$), $y$ стремится к 0, оставаясь отрицательным. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой.
- При $x < -1$ (левая ветвь): График находится во втором квадранте. При $x$, стремящемся к -1 слева ($x \to -1^-$), значение $y$ стремится к $-\frac{1}{-1} = 1$. В точке $x=-1$ значение функции определено из первой части: $y(-1)=1$. Следовательно, в точке $(-1, 1)$ график непрерывен. При уменьшении $x$ ($x \to -\infty$), $y$ стремится к 0, оставаясь положительным. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой.

Итак, график состоит из дуги параболы на отрезке $[-1, 1]$ и двух ветвей гиперболы на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, \infty)$. В точке $x=1$ наблюдается скачок (разрыв) от значения $y=1$ до предела $y=-1$.

Ответ: График функции представляет собой дугу параболы $y=x^2$ на отрезке $[-1,1]$ и ветви гиперболы $y=-1/x$ на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, \infty)$. В точке $x=-1$ график непрерывен, а в точке $x=1$ имеет разрыв.

Определите, при каких значениях m прямая $y = m$ имеет с графиком единственную общую точку.

Прямая $y=m$ — это горизонтальная прямая. Количество ее пересечений с графиком функции зависит от значения $m$. Проанализируем это, используя построенный график.

• При $m > 1$: Прямая проходит выше всех точек графика. Пересечений нет.
• При $m = 1$: Прямая пересекает график в двух точках: $(-1, 1)$ и $(1, 1)$, которые принадлежат параболе.
• При $0 < m < 1$: Прямая пересекает параболу $y=x^2$ в двух точках ($x=\pm\sqrt{m}$) и левую ветвь гиперболы $y=-1/x$ в одной точке ($x=-1/m$). Всего 3 пересечения.
• При $m = 0$: Прямая пересекает график в одной точке — вершине параболы $(0, 0)$. Это единственная точка пересечения.
• При $-1 < m < 0$: Прямая не пересекает параболу и левую ветвь гиперболы. Она пересекает правую ветвь гиперболы $y=-1/x$ в одной точке ($x=-1/m$, где $x > 1$). Это единственная точка пересечения.
• При $m = -1$: Прямая проходит через выколотую точку $(1, -1)$ и не имеет общих точек с графиком.
• При $m < -1$: Прямая проходит ниже всех точек графика. Пересечений нет.

Таким образом, график имеет единственную общую точку с прямой $y=m$ в двух случаях: когда $m=0$ и когда $m$ находится в интервале $(-1, 0)$. Объединяя эти результаты, получаем искомое множество значений $m$.

Ответ: $m \in (-1, 0]$.