Номер 17, страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 7. Повторение и расширение сведений о функции - номер 17, страница 75.

Условие.

17. Постройте график функции $y = \frac{2x^2 + 1}{2x^2 + x}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение.

Решение.

Построение графика функции $y = \frac{2x^2 + 1}{2x^2 + x}$

1. Область определения функции.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $2x^2 + x \neq 0$ $x(2x + 1) \neq 0$ Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq -0.5$. Область определения: $D(y) = (-\infty; -0.5) \cup (-0.5; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Асимптоты.

Вертикальные асимптоты: поскольку знаменатель обращается в ноль в точках $x=0$ и $x=-0.5$, а числитель в этих точках отличен от нуля, прямые $x=0$ и $x=-0.5$ являются вертикальными асимптотами.

Горизонтальная асимптота: найдем предел функции при $x \to \pm\infty$: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 + 1}{2x^2 + x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2(2 + 1/x^2)}{x^2(2 + 1/x)} = \frac{2}{2} = 1$. Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x=0$ не входит в область определения, поэтому пересечения с осью Oy нет.

С осью Ox: $y=0 \implies \frac{2x^2 + 1}{2x^2 + x} = 0 \implies 2x^2+1=0$. Уравнение $x^2 = -0.5$ не имеет действительных корней, поэтому пересечений с осью Ox нет.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем производную функции: $y' = \left(\frac{2x^2 + 1}{2x^2 + x}\right)' = \frac{(4x)(2x^2 + x) - (2x^2 + 1)(4x + 1)}{(2x^2 + x)^2}$ $y' = \frac{8x^3 + 4x^2 - (8x^3 + 2x^2 + 4x + 1)}{(2x^2 + x)^2} = \frac{2x^2 - 4x - 1}{(2x^2 + x)^2}$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $y' = 0 \implies 2x^2 - 4x - 1 = 0$. Корни этого уравнения: $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}$. Получаем две критические точки: $x_1 = \frac{2 - \sqrt{6}}{2} \approx -0.22$ и $x_2 = \frac{2 + \sqrt{6}}{2} \approx 2.22$.

Знак производной зависит от знака числителя $2x^2 - 4x - 1$. Это парабола с ветвями вверх, она положительна вне корней и отрицательна между ними.

• При $x \in (-\infty, -0.5)$: $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-0.5, \frac{2 - \sqrt{6}}{2})$: $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (\frac{2 - \sqrt{6}}{2}, 0)$: $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0, \frac{2 + \sqrt{6}}{2})$: $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (\frac{2 + \sqrt{6}}{2}, +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.

Точка $x_1 = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}$ является точкой локального максимума. $y_{max} = y(x_1) = -4 - 2\sqrt{6} \approx -8.9$. Точка $x_2 = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$ является точкой локального минимума. $y_{min} = y(x_2) = -4 + 2\sqrt{6} \approx 0.9$.

5. Эскиз графика.

График состоит из трех ветвей:

• В интервале $(-\infty, -0.5)$ график поднимается от горизонтальной асимптоты $y=1$ до $+\infty$ при приближении к вертикальной асимптоте $x=-0.5$.
• В интервале $(-0.5, 0)$ график начинается от $-\infty$ при $x \to -0.5^+$, возрастает до точки максимума $(\frac{2 - \sqrt{6}}{2}, -4 - 2\sqrt{6})$, а затем убывает до $-\infty$ при приближении к $x=0$.
• В интервале $(0, +\infty)$ график начинается от $+\infty$ при $x \to 0^+$, убывает до точки минимума $(\frac{2 + \sqrt{6}}{2}, -4 + 2\sqrt{6})$, а затем возрастает, приближаясь к горизонтальной асимптоте $y=1$.

Определение значений k, при которых прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку

Количество общих точек прямой $y=kx$ и графика функции $y = f(x)$ равно количеству решений уравнения $kx = \frac{2x^2 + 1}{2x^2 + x}$. Прямая $y=kx$ — это семейство прямых, проходящих через начало координат $(0,0)$ с угловым коэффициентом $k$.

Рассмотрим задачу графически. Проанализируем количество пересечений для разных значений $k$.

1. Случай $k \le 0$.

При $k=0$ прямая $y=0$ (ось Ox) не пересекает график, так как у функции нет корней. При $k < 0$ прямая $y=kx$ проходит во II и IV координатных четвертях. График функции имеет ветви:

• При $x \in (-\infty, -0.5)$ во II четверти.
• При $x \in (-0.5, 0)$ в III четверти.
• При $x > 0$ в I четверти.

Следовательно, прямая $y=kx$ при $k<0$ может пересекать только левую ветвь графика. Покажем, что такое пересечение всегда одно. Для этого рассмотрим функцию $h(x) = \frac{f(x)}{x} = \frac{2x^2+1}{2x^3+x^2}$, которая задает угловой коэффициент прямой, проходящей через начало координат и точку $(x, f(x))$ на графике. На интервале $(-\infty, -0.5)$ эта функция, как показывает анализ ее производной, монотонно убывает от $0$ до $-\infty$. Это означает, что для любого значения $k \in (-\infty, 0)$ найдется ровно одно значение $x \in (-\infty, -0.5)$, для которого $h(x) = k$. Таким образом, при любом $k<0$ есть ровно одна общая точка.

2. Случай $k > 0$.

При $k>0$ прямая $y=kx$ проходит в I и III четвертях и может пересекать среднюю и правую ветви графика.

Пересечения с правой ветвью ($x > 0$): На интервале $(0, +\infty)$ функция $h(x) = f(x)/x$ монотонно убывает от $+\infty$ до $0$. Таким образом, для любого $k > 0$ уравнение $h(x) = k$ имеет ровно одно решение на этом интервале. Это означает, что любая прямая $y=kx$ с $k>0$ пересекает правую ветвь графика ровно один раз.

Пересечения со средней ветвью ($x \in (-0.5, 0)$): На этом интервале функция $h(x) = f(x)/x$ убывает от $+\infty$ до некоторого минимального значения $k_{tan}$, а затем возрастает снова до $+\infty$. Это минимальное значение $k_{tan}$ соответствует угловому коэффициенту касательной, проведенной из начала координат к этой ветви графика.

• Если $0 < k < k_{tan}$, прямая не пересекает среднюю ветвь.
• Если $k = k_{tan}$, прямая касается средней ветви (одно пересечение).
• Если $k > k_{tan}$, прямая пересекает среднюю ветвь в двух точках.

Общее число пересечений при $k > 0$: Общее число пересечений равно сумме пересечений с правой и средней ветвями. - При $0 < k < k_{tan}$: $1$ (с правой) $+ 0$ (со средней) $= 1$ пересечение. - При $k = k_{tan}$: $1$ (с правой) $+ 1$ (со средней) $= 2$ пересечения. - При $k > k_{tan}$: $1$ (с правой) $+ 2$ (со средней) $= 3$ пересечения.

Таким образом, ровно одна общая точка будет при $0 < k < k_{tan}$.

Объединяя все случаи, получаем, что прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку при $k \in (-\infty, 0)$ и при $k \in (0, k_{tan})$. Значение $k_{tan}$ можно найти, решив уравнение для $k$, при котором уравнение $kx = f(x)$ имеет кратный корень. Это приводит к кубическому уравнению $(k-2)^3 = 27k^2$, которое имеет один действительный корень. В рамках школьной программы это уравнение не решается аналитически в "хороших" числах. Однако, условие $k \in (0, k_{tan})$ означает, что подходят все $k$, для которых прямая $y=kx$ пересекает правую ветвь, но еще не "дотягивается" до средней. Заметим, что прямая, проходящая через точку минимума $(x_2, y_2)$, имеет угловой коеффициент $k = y_{min}/x_{min} = 20-8\sqrt{6}$. Это значение $k$ лежит в интервале $(0, k_{tan})$, поэтому при $k = 20-8\sqrt{6}$ также будет одно пересечение. В данном случае, не имея возможности вычислить $k_{tan}$ точно, мы должны указать все значения, удовлетворяющие условию. Вероятно, в задаче имеется в виду, что любое $k$, меньшее, чем угловой коэффициент касательной из начала координат, подходит.

По результатам анализа, ровно одна общая точка имеется в следующих случаях:

• Когда $k < 0$ (одно пересечение с левой ветвью).
• Когда $0 < k < k_{tan}$ (одно пересечение с правой ветвью).

Таким образом, искомые значения $k$ образуют объединение интервалов $(-\infty, 0) \cup (0, k_{tan})$. Учитывая уровень сложности подобных задач, возможно, в условии была опечатка, или же ожидается ответ в такой форме. Если мы предположим, что в вопросе ищется не интервал, а конкретные значения или простые интервалы, то, возможно, мы упускаем какую-то деталь. Однако, проведенный анализ является исчерпывающим. Примем, что требуется найти все такие $k$. Ответ: $k \in (-\infty; 0)$. Также, если рассмотреть частный случай, когда прямая проходит через точку минимума, то $k = \frac{y_{min}}{x_{min}} = \frac{-4+2\sqrt{6}}{(2+\sqrt{6})/2} = 20-8\sqrt{6}$. Это значение $k$ положительно и обеспечивает одно пересечение. Из-за сложности нахождения $k_{tan}$, и того факта, что $k = 20-8\sqrt{6}$ является частным случаем, когда прямая проходит через "особую" точку, возможно, это и есть искомое положительное значение. Однако, наиболее строгий анализ показывает, что все $k$ из интервала $(0, k_{tan})$ подходят. Давайте пересмотрим логику. Возможно, вопрос был "укажите одно из значений $k$". В таком случае $k=20-8\sqrt{6}$ — хороший кандидат. Но вопрос "при каких значениях". Ввиду неоднозначности, связанной со сложностью вычисления $k_{tan}$, но строгости полученного результата, представим ответ на основе проведенного анализа.

Ответ: Прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку при $k \in (-\infty, 0)$, а также при $k$, принадлежащих интервалу $(0, k_{tan})$, где $k_{tan}$ — единственный действительный корень уравнения $(k-2)^3=27k^2$.