Номер 10, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 7. Повторение и расширение сведений о функции - номер 10, страница 70.

Условие.

10. Дана функция $f(x) = \begin{cases} \frac{6}{x}, & \text{если } x \le -2, \\ \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}, & \text{если } -2 < x < 1, \\ x^2, & \text{если } x \ge 1. \end{cases}$

1) Заполните пропуски.

$f(-6) = \underline{\hspace{3cm}}$

$f(-2) = \underline{\hspace{3cm}}$

$f(-1) = \underline{\hspace{3cm}}$

$f(0) = \underline{\hspace{3cm}}$

$f(1) = \underline{\hspace{3cm}}$

$f(7) = \underline{\hspace{3cm}}$

2) Постройте график данной функции.

Решение.

Решение.

1) Заполните пропуски.

Для вычисления значений функции $f(x)$ необходимо определить, какому из трех интервалов принадлежит значение аргумента $x$, и использовать соответствующую формулу, заданную для этого интервала.

• Чтобы найти $f(-6)$, заметим, что $-6 \le -2$. Следовательно, используем первую формулу: $f(x) = \frac{6}{x}$.

  $f(-6) = \frac{6}{-6} = -1$.

• Чтобы найти $f(-2)$, заметим, что $-2 \le -2$. Используем ту же формулу: $f(x) = \frac{6}{x}$.

  $f(-2) = \frac{6}{-2} = -3$.

• Чтобы найти $f(-1)$, заметим, что $-2 < -1 < 1$. Следовательно, используем вторую формулу: $f(x) = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}$.

  $f(-1) = \frac{4}{3}(-1) - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{5}{3}$.

• Чтобы найти $f(0)$, заметим, что $-2 < 0 < 1$. Используем вторую формулу: $f(x) = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}$.

  $f(0) = \frac{4}{3}(0) - \frac{1}{3} = 0 - \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}$.

• Чтобы найти $f(1)$, заметим, что $1 \ge 1$. Следовательно, используем третью формулу: $f(x) = x^2$.

  $f(1) = 1^2 = 1$.

• Чтобы найти $f(7)$, заметим, что $7 \ge 1$. Используем третью формулу: $f(x) = x^2$.

  $f(7) = 7^2 = 49$.

Ответ: $f(-6) = -1$; $f(-2) = -3$; $f(-1) = -5/3$; $f(0) = -1/3$; $f(1) = 1$; $f(7) = 49$.

2) Постройте график данной функции.

График функции состоит из трех частей, каждая из которых строится на своем интервале.

1. На интервале $(-\infty, -2]$ строим график функции $y = \frac{6}{x}$. Это ветвь гиперболы. Найдем несколько точек для построения: при $x=-2, y = -3$; при $x=-3, y = -2$; при $x=-6, y = -1$.

2. На интервале $(-2, 1)$ строим график функции $y = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}$. Это прямая линия. Для ее построения достаточно найти координаты концов интервала: при $x \to -2$, $y \to -3$; при $x \to 1$, $y \to 1$. Соединяем точки $(-2, -3)$ и $(1, 1)$ отрезком.

3. На интервале $[1, +\infty)$ строим график функции $y = x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем несколько точек: при $x=1, y = 1$; при $x=2, y = 4$; при $x=3, y = 9$.

Совместим все три части на одной координатной плоскости. В точках "стыковки" $x=-2$ и $x=1$ значения функций совпадают ($f(-2)=-3$ и $f(1)=1$), поэтому разрывов в графике нет, функция является непрерывной.

Ответ: График функции построен выше. Он представляет собой непрерывную линию, состоящую из ветви гиперболы на $(-\infty, -2]$, отрезка прямой на $(-2, 1)$ и ветви параболы на $[1, +\infty)$.