Номер 9, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 7. Повторение и расширение сведений о функции - номер 9, страница 69.

Условие.

9. Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями координат графика функции:

1) $f(x) = \frac{16 + 8x}{2x - 7}$

Решение.

Для нахождения координат точки пересечения графика данной функции с осью абсцисс решим уравнение $ \frac{16 + 8x}{2x - 7} = 0 $.

Это уравнение равносильно системе $$ \begin{cases} 16 + 8x = 0 \\ 2x - 7 \neq 0 \end{cases} $$

Отсюда имеем $x = \_\_\_\_\_\_\_\_$.

Следовательно, график данной функции пересекает ось абсцисс в точке с координатами (_____________; 0).

Для нахождения координат точки пересечения графика данной функции с осью ординат найдём значение данной функции при $x = 0$. Имеем: $f(0) = \_\_\_\_\_\_\_\_$.

Следовательно, график данной функции пересекает ось ординат в точке с координатами (0; _____________).

2) $g(x) = 3x^2 - x - 2$

Решение.

3) $h(x) = \frac{x^2 - 7}{x^2 - 1}$

Решение.

Решение.

1) $f(x) = \frac{16 + 8x}{2x - 7}$

Решение.

Для нахождения координат точки пересечения графика данной функции с осью абсцисс (осью Ox) решим уравнение $f(x) = 0$:

$\frac{16 + 8x}{2x - 7} = 0$.

Это уравнение равносильно системе $\begin{cases} 16 + 8x = 0, \\ 2x - 7 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения находим $8x = -16$, откуда $x = -2$.

Проверяем второе условие: $2(-2) - 7 = -11 \neq 0$. Условие выполняется.

Следовательно, график пересекает ось абсцисс в точке с координатами $(-2; 0)$.

Для нахождения координат точки пересечения с осью ординат (осью Oy) найдём значение функции при $x = 0$:

$f(0) = \frac{16 + 8 \cdot 0}{2 \cdot 0 - 7} = \frac{16}{-7} = -\frac{16}{7}$.

Следовательно, график пересекает ось ординат в точке с координатами $(0; -\frac{16}{7})$.

Ответ: точка пересечения с осью Ox: $(-2; 0)$; точка пересечения с осью Oy: $(0; -\frac{16}{7})$.

2) $g(x) = 3x^2 - x - 2$

Решение.

Найдём точки пересечения с осью абсцисс (Ox). Для этого решим уравнение $g(x) = 0$:

$3x^2 - x - 2 = 0$.

Это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{6} = \frac{1 \pm 5}{6}$.

$x_1 = \frac{1 - 5}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.

$x_2 = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Точки пересечения с осью Ox имеют координаты $(-\frac{2}{3}; 0)$ и $(1; 0)$.

Найдём точку пересечения с осью ординат (Oy). Для этого вычислим значение функции при $x = 0$:

$g(0) = 3(0)^2 - 0 - 2 = -2$.

Точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; -2)$.

Ответ: точки пересечения с осью Ox: $(-\frac{2}{3}; 0)$, $(1; 0)$; точка пересечения с осью Oy: $(0; -2)$.

3) $h(x) = \frac{x^2 - 7}{x^2 - 1}$

Решение.

Найдём точки пересечения с осью абсцисс (Ox). Для этого решим уравнение $h(x) = 0$:

$\frac{x^2 - 7}{x^2 - 1} = 0$.

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 7 = 0, \\ x^2 - 1 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x^2 = 7$, откуда $x = \sqrt{7}$ и $x = -\sqrt{7}$.

Проверим выполнение второго условия $x^2 \neq 1$. Поскольку $x^2 = 7$, то $7 \neq 1$. Условие выполняется для обоих корней.

Точки пересечения с осью Ox имеют координаты $(-\sqrt{7}; 0)$ и $(\sqrt{7}; 0)$.

Найдём точку пересечения с осью ординат (Oy). Для этого вычислим значение функции при $x = 0$:

$h(0) = \frac{0^2 - 7}{0^2 - 1} = \frac{-7}{-1} = 7$.

Точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; 7)$.

Ответ: точки пересечения с осью Ox: $(-\sqrt{7}; 0)$, $(\sqrt{7}; 0)$; точка пересечения с осью Oy: $(0; 7)$.