Номер 12, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 7. Повторение и расширение сведений о функции - номер 12, страница 71.

Условие.

12. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{x - 6} + \frac{3}{x + 6}$;

Решение.

Область определения данной функции — множество решений системы неравенств $ \begin{cases} 6 - x \ge 0 \\ x + 6 \neq 0 \end{cases} $

Следовательно, $D(f) = $

2) $f(x) = \sqrt{x + 2} - \frac{1}{|x| - 2}$;

Решение.

3) $f(x) = \frac{\sqrt{7 - x}}{\sqrt{x + 1}} + \frac{1}{x^2 - 2x}$;

Решение.

Решение.

1)

Дана функция $f(x) = \sqrt{x-6} + \frac{3}{x+6}$.

Область определения функции (D(f)) — это множество всех значений $x$, при которых функция определена. Для данной функции выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным ($x-6 \ge 0$), а знаменатель дроби не должен быть равен нулю ($x+6 \neq 0$).

Составим и решим систему:

$\begin{cases} x-6 \ge 0 \\ x+6 \neq 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \ge 6$.

Из второго условия получаем $x \neq -6$.

Объединим оба условия. Нам нужны значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x \ge 6$ и $x \neq -6$. Так как все числа, большие или равные 6, заведомо не равны -6, то второе условие выполняется автоматически. Таким образом, область определения функции — это все числа $x$, такие что $x \ge 6$.

В виде интервала это записывается как $[6, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = [6, +\infty)$.

2)

Дана функция $f(x) = \sqrt{x+2} - \frac{1}{|x|-2}$.

Для нахождения области определения функции необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня было неотрицательным ($x+2 \ge 0$) и знаменатель дроби не был равен нулю ($|x|-2 \neq 0$).

Составим и решим систему:

$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ |x|-2 \neq 0 \end{cases}$

Решая первое неравенство, получаем $x \ge -2$.

Из второго условия, $|x|-2 \neq 0$, следует, что $|x| \neq 2$, а значит $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Теперь объединим все условия: $x \ge -2$, $x \neq -2$ и $x \neq 2$. Условия $x \ge -2$ и $x \neq -2$ вместе дают строгое неравенство $x > -2$. Добавляя условие $x \neq 2$, получаем, что область определения состоит из всех чисел, больших -2, за исключением числа 2.

В виде объединения интервалов это записывается как $(-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

3)

Дана функция $f(x) = \frac{\sqrt{7-x}}{\sqrt{x+1}} + \frac{1}{x^2-2x}$.

Для нахождения области определения данной функции необходимо, чтобы выполнялись три условия. Во-первых, выражение под знаком корня в числителе должно быть неотрицательным: $7-x \ge 0$. Во-вторых, выражение под знаком корня в знаменателе должно быть строго положительным: $x+1 > 0$. В-третьих, знаменатель второй дроби не должен быть равен нулю: $x^2-2x \neq 0$.

Составим и решим систему:

$\begin{cases} 7-x \ge 0 \\ x+1 > 0 \\ x^2-2x \neq 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \le 7$.

Из второго неравенства получаем $x > -1$.

Из третьего условия, $x^2-2x \neq 0 \implies x(x-2) \neq 0$, следует, что $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Объединим все найденные условия: $x \le 7$, $x > -1$, $x \neq 0$ и $x \neq 2$. Условия $x \le 7$ и $x > -1$ задают интервал $(-1, 7]$. Из этого интервала мы должны исключить точки $x=0$ и $x=2$.

В результате получаем объединение трех интервалов: $(-1, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 7]$.

Ответ: $D(f) = (-1, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 7]$.