Номер 14, страница 73, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 7. Повторение и расширение сведений о функции - номер 14, страница 73.

Условие.

14. Задайте формулой какую-нибудь функцию, областью определения которой является:

1) множество действительных чисел, кроме чисел -7 и 3:

$f(x) = $

2) множество действительных чисел, которые не меньше -2, кроме числа 4:

$f(x) = $

3) множество, состоящее из одного числа 9:

$f(x) = $

Решение.

1) множество действительных чисел, кроме чисел -7 и 3:
Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Чтобы исключить из области определения некоторые числа, можно использовать их в знаменателе дроби, так как деление на ноль не определено.
Чтобы исключить число $x = -7$, знаменатель должен содержать множитель $(x - (-7))$, то есть $(x+7)$.
Чтобы исключить число $x = 3$, знаменатель должен содержать множитель $(x-3)$.
Таким образом, знаменатель должен быть равен нулю при $x=-7$ и $x=3$. Простейший вид такого знаменателя — это их произведение: $(x+7)(x-3)$.
В числителе может стоять любая константа, например, 1.
Получаем функцию: $f(x) = \frac{1}{(x+7)(x-3)}$.
Ответ: $f(x) = \frac{1}{(x+7)(x-3)}$

2) множество действительных чисел, которые не меньше –2, кроме числа 4:
Условие "не меньше –2" означает $x \ge -2$. Такое ограничение можно задать с помощью квадратного корня, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Выражение $x+2$ неотрицательно как раз при $x \ge -2$. Значит, в формуле будет присутствовать $\sqrt{x+2}$.
Дополнительно нужно исключить из области определения число 4. Как и в предыдущем пункте, для этого нужно поместить множитель $(x-4)$ в знаменатель.
Объединяя эти два условия, получаем функцию, у которой подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю.
Получаем функцию: $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-4}$.
Проверим область определения:
1. $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$
2. $x-4 \ne 0 \implies x \ne 4$
Оба условия выполняются, что соответствует заданию.
Ответ: $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-4}$

3) множество, состоящее из одного числа 9:
Чтобы область определения состояла только из одного числа $x=9$, можно сконструировать функцию, которая будет определена только в этой точке. Этого можно добиться, используя сумму двух квадратных корней.
Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x-9} + \sqrt{9-x}$.
Эта функция определена, только если оба подкоренных выражения неотрицательны одновременно:
1. $x-9 \ge 0 \implies x \ge 9$
2. $9-x \ge 0 \implies x \le 9$
Единственное число, которое одновременно больше или равно 9 и меньше или равно 9, — это само число 9. Таким образом, область определения этой функции состоит из одного числа.
Ответ: $f(x) = \sqrt{x-9} + \sqrt{9-x}$