Номер 7, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 8. Свойства функции - номер 7, страница 79.

Условие.

7. Начертите график какой-либо функции, определённой на множестве действительных чисел, нулями которой являются числа $-3$; $1$ и $4$.

Решение.

Задача состоит в том, чтобы начертить график любой функции, которая определена для всех действительных чисел и имеет нули (точки пересечения с осью абсцисс $Ox$) в точках $x = -3$, $x = 1$ и $x = 4$.

Решение:

1. Понятие нулей функции. Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю, то есть $y=f(x)=0$. На графике это точки, в которых он пересекает ось $Ox$. По условию, график искомой функции должен пересекать ось абсцисс в точках $(-3, 0)$, $(1, 0)$ и $(4, 0)$.

2. Построение примера функции. Существует бесконечно много функций, удовлетворяющих этому условию. Самый простой способ построить пример такой функции — использовать многочлен. Если функция имеет нули в точках $x_1, x_2, x_3$, то её можно записать в виде:
$y = a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$
где $a$ — любое число, не равное нулю.

Подставим наши значения нулей $x_1 = -3$, $x_2 = 1$, $x_3 = 4$:
$y = a(x - (-3))(x - 1)(x - 4) = a(x+3)(x-1)(x-4)$

3. Эскиз графика. Для построения эскиза графика выберем для простоты коэффициент $a=1$. Тогда наша функция:
$y = (x+3)(x-1)(x-4)$
Это кубическая парабола. Чтобы построить её эскиз, нам нужно знать, где функция положительна (график выше оси $Ox$) и где отрицательна (график ниже оси $Ox$). Для этого используем метод интервалов. Нули разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 1)$, $(1, 4)$ и $(4, \infty)$.

• Если $x > 4$ (например, $x=5$): $y = (5+3)(5-1)(5-4) = (+)(+)(+) > 0$. График находится выше оси $Ox$.
• Если $1 < x < 4$ (например, $x=2$): $y = (2+3)(2-1)(2-4) = (+)(+)(-) < 0$. График находится ниже оси $Ox$.
• Если $-3 < x < 1$ (например, $x=0$): $y = (0+3)(0-1)(0-4) = (+)(-)(-) > 0$. График находится выше оси $Ox$.
• Если $x < -3$ (например, $x=-4$): $y = (-4+3)(-4-1)(-4-4) = (-)(-)(-) < 0$. График находится ниже оси $Ox$.

Основываясь на этой информации, мы можем начертить плавную кривую, которая проходит через точки $(-3, 0)$, $(1, 0)$, $(4, 0)$ и ведет себя соответствующим образом на интервалах.

Ответ:
Ниже представлен пример графика функции, удовлетворяющей условию. Любая другая плавная кривая, пересекающая ось $x$ только в точках -3, 1 и 4, также будет являться верным ответом.