Номер 11, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 8. Свойства функции - номер 11, страница 81.

Условие.

11. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} \frac{3}{x}, & \text{если } x \le -3, \\ x+2, & \text{если } -3 < x \le 0, \\ 2-x, & \text{если } 0 < x \le 1, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 1. \end{cases}$ Используя график, запол- ните пропуски.

Решение.

1) $f(x) = 0$ при

2) $f(x) < 0$ при

3) $f(x) > 0$ при

4) Функция возрастает на

5) Функция убывает на

Решение.

Для построения графика функции $f(x) = \begin{cases} \frac{3}{x}, & \text{если } x \le -3 \\ x+2, & \text{если } -3 < x \le 0 \\ 2-x, & \text{если } 0 < x \le 1 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$ разобьем задачу на четыре части, соответствующие каждому интервалу определения функции.

1. На промежутке $(-\infty, -3]$ строим график функции $y = \frac{3}{x}$. Это ветвь гиперболы. Для $x \le -3$ график находится в третьей координатной четверти. Крайняя точка участка: при $x = -3$, $y = \frac{3}{-3} = -1$. Точка $(-3, -1)$ принадлежит графику.
2. На промежутке $(-3, 0]$ строим график функции $y = x+2$. Это отрезок прямой. Находим координаты его концов: в точке $x=-3$ имеем $y = -3+2 = -1$; в точке $x=0$ имеем $y=0+2=2$. Соединяем точки $(-3, -1)$ и $(0, 2)$. Так как в точке $x=-3$ значение функции совпадает со значением из предыдущего интервала, разрыва в этой точке нет.
3. На промежутке $(0, 1]$ строим график функции $y = 2-x$. Это также отрезок прямой. Находим координаты его концов: в точке $x=0$ имеем $y=2-0=2$; в точке $x=1$ имеем $y=2-1=1$. Соединяем точки $(0, 2)$ и $(1, 1)$. Разрыва в точке $x=0$ нет.
4. На промежутке $(1, \infty)$ строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, идущая из точки $(1, 1)$ вправо вверх. Разрыва в точке $x=1$ нет. Например, при $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$.

Соединив все построенные части, получаем непрерывный график функции $f(x)$. Используя этот график, заполним пропуски.

1) $f(x) = 0$ при

Нули функции – это точки пересечения графика с осью $Ox$. Из графика видно, что такое пересечение одно. Оно происходит на участке, где $f(x) = x+2$. Решим уравнение $x+2=0$, получаем $x=-2$. Это значение принадлежит интервалу $(-3, 0]$.

Ответ: $x = -2$.

2) $f(x) < 0$ при

Функция принимает отрицательные значения там, где ее график расположен ниже оси $Ox$. Это происходит на всем промежутке $(-\infty, -3]$ (где $f(x) = 3/x$ отрицательна для $x<0$) и на части промежутка $(-3, 0]$ (где $f(x) = x+2$), а именно при $x < -2$. Объединяя эти промежутки, получаем $(-\infty, -2)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2)$.

3) $f(x) > 0$ при

Функция принимает положительные значения там, где ее график расположен выше оси $Ox$. Это происходит на промежутке $(-2, 0]$, на всем промежутке $(0, 1]$ и на всем промежутке $(1, \infty)$. Объединяя эти промежутки, получаем $(-2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-2, \infty)$.

4) Функция возрастает на

Функция возрастает на промежутках, где график идет вверх при движении слева направо. Это участок прямой $y=x+2$ (линейная функция с положительным угловым коэффициентом) на промежутке $[-3, 0]$ и участок $y=\sqrt{x}$ (функция квадратного корня) на промежутке $[1, \infty)$.

Ответ: $[-3, 0] \cup [1, \infty)$.

5) Функция убывает на

Функция убывает на промежутках, где график идет вниз при движении слева направо. Это участок гиперболы $y=3/x$ на промежутке $(-\infty, -3]$ и участок прямой $y=2-x$ (линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом) на промежутке $[0, 1]$.

Ответ: $(-\infty, -3] \cup [0, 1]$.