Номер 18, страница 83, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Параграф 8. Свойства функции. Глава 2. Квадратичная функция. Часть 1 - номер 18, страница 83.

Условие.

18. Докажите, что функция $f(x) = x^2 + 4x$ убывает на промежутке $(-\infty; -2]$.

Решение.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — произвольные значения аргумента, принадлежащие промежутку $(-\infty; -2]$, причём $x_2 > x_1$. Рассмотрим разность $f(x_2) - f(x_1)$.

Имеем:

$f(x_2) - f(x_1) = (x_2^2 + 4x_2) - (x_1^2 + 4x_1) = x_2^2 + 4x_2 - x_1^2 - 4x_1$

$= (x_2^2 - x_1^2) + (4x_2 - 4x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) + 4(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1 + 4)$.

Поскольку

$x_1 \in (-\infty; -2]$, $x_2 \in (-\infty; -2]$ и $x_2 > x_1$, то $x_1 < -2$, $x_2 \le -2$.

Тогда

$x_1 + x_2 < -4$, $x_1 + x_2 + 4 < 0$.

Поскольку

$x_2 > x_1$, то $x_2 - x_1 > 0$.

Тогда

$(x_2 - x_1)(x_2 + x_1 + 4) < 0$.

Следовательно,

$f(x_2) - f(x_1) < 0$; $f(x_2) < f(x_1)$, то есть данная функция убывает на промежутке $(-\infty; -2]$.