Номер 1, страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 9. Построение графика функции y = kf(x) - номер 1, страница 84.

Условие.

Повторяем теорию

1. Заполните пропуски.

1) График функции $y = kf(x)$, где $k \neq 0$, можно получить, заменив каждую точку графика функции $y = f(x)$ на точку ________

2) При $k \neq 0$ нули функций $y = f(x)$ и $y = kf(x)$ _________

3) Графиком функции $y = ax^2$, $a \neq 0$, является ________, вершина которой — точка (________; ________)

4) Если $a > 0$, то ветви параболы направлены _________; если $a < 0$, то ветви параболы направлены _________

Решение.

1) Преобразование функции $y = f(x)$ в функцию $y = kf(x)$ (где $k \neq 0$) является растяжением или сжатием графика вдоль оси ординат. Для каждой точки $(x_0, y_0)$ на графике функции $y = f(x)$, где $y_0 = f(x_0)$, соответствующая точка на графике функции $y = kf(x)$ будет иметь ту же абсциссу $x_0$, но новую ординату $y_{new} = kf(x_0) = ky_0$. Таким образом, каждая точка $(x, f(x))$ заменяется на точку с координатами $(x, kf(x))$.
Ответ: с той же абсциссой и ординатой, умноженной на $k$ (то есть на точку $(x, kf(x))$).

2) Нулями функции называются значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Нули функции $y = f(x)$ находятся из уравнения $f(x) = 0$. Нули функции $y = kf(x)$ находятся из уравнения $kf(x) = 0$. Поскольку по условию $k \neq 0$, то уравнение $kf(x) = 0$ равносильно уравнению $f(x) = 0$. Это означает, что обе функции обращаются в ноль при одних и тех же значениях $x$.
Ответ: совпадают.

3) Функция вида $y = ax^2$, где $a \neq 0$, является квадратичной функцией. Её графиком является кривая, называемая параболой. Вершина параболы, заданной в общем виде как $y = a(x - h)^2 + k$, находится в точке с координатами $(h, k)$. Для функции $y = ax^2$ это уравнение можно представить как $y = a(x - 0)^2 + 0$. Отсюда следует, что вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
Ответ: парабола, вершина которой – точка $(0; 0)$.

4) Направление ветвей параболы $y = ax^2$ зависит от знака коэффициента $a$. Если коэффициент $a > 0$, то значения функции $y$ будут неотрицательными ($y \ge 0$), и при увеличении $|x|$ значения $y$ будут неограниченно расти. Это означает, что ветви параболы направлены вверх. Если коэффициент $a < 0$, то значения функции $y$ будут неположительными ($y \le 0$), и при увеличении $|x|$ значения $y$ будут неограниченно убывать (стремиться к $-\infty$). Это означает, что ветви параболы направлены вниз.
Ответ: вверх; вниз.