Номер 5, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 9. Построение графика функции y = kf(x) - номер 5, страница 86.

Условие.

5. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций:

1) $y = 5x^2$ и $y = 45x$;

Решение.

Найдём абсциссы точек пересечения графиков данных функций, решив

уравнение

Ответ:

2) $y = -\frac{1}{3}x^2$ и $y = x - 6$.

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $y = 5x^2$ и $y = 45x$

Решение.

Чтобы найти координаты точек пересечения, нужно найти такие значения $x$ и $y$, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Для этого приравняем правые части уравнений функций:

$5x^2 = 45x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$5x^2 - 45x = 0$

Вынесем общий множитель $5x$ за скобки:

$5x(x - 9) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Поэтому мы имеем два случая:

1) $5x = 0 \implies x_1 = 0$

2) $x - 9 = 0 \implies x_2 = 9$

Мы нашли абсциссы точек пересечения. Теперь найдем соответствующие ординаты (значения $y$), подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать $y = 45x$.

При $x_1 = 0$:

$y_1 = 45 \cdot 0 = 0$

Первая точка пересечения имеет координаты $(0, 0)$.

При $x_2 = 9$:

$y_2 = 45 \cdot 9 = 405$

Вторая точка пересечения имеет координаты $(9, 405)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(9, 405)$.

2) $y = -\frac{1}{3}x^2$ и $y = x - 6$

Решение.

Аналогично первому пункту, приравняем правые части уравнений:

$-\frac{1}{3}x^2 = x - 6$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $-3$:

$(-3) \cdot (-\frac{1}{3}x^2) = (-3) \cdot (x - 6)$

$x^2 = -3x + 18$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 3x - 18 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 9}{2}$

$x_1 = \frac{-3 - 9}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

$x_2 = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Теперь найдем соответствующие ординаты, подставив найденные значения $x$ в уравнение $y = x - 6$.

При $x_1 = -6$:

$y_1 = -6 - 6 = -12$

Первая точка пересечения: $(-6, -12)$.

При $x_2 = 3$:

$y_2 = 3 - 6 = -3$

Вторая точка пересечения: $(3, -3)$.

Ответ: $(-6, -12)$, $(3, -3)$.