Номер 10, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 9. Построение графика функции y = kf(x) - номер 10, страница 88.

Условие.

10. На рисунке изображён график функции $y = f(x)$. Постройте на этом рисунке графики функций $y = 1,5f(x)$ и $y = -\frac{1}{3} f(x)$.

Решение.

Для построения графиков функций $y = 1,5f(x)$ и $y = -\frac{1}{3}f(x)$ на основе графика функции $y = f(x)$ необходимо выполнить преобразования исходного графика. В обоих случаях абсциссы ($x$) всех точек графика остаются неизменными, а изменяются только ординаты ($y$).

y = 1,5f(x)

График функции $y = kf(x)$ при $k > 1$ получается из графика функции $y = f(x)$ растяжением вдоль оси Oy в $k$ раз. В нашем случае $k = 1,5$. Это означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходном графике соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, 1,5y_0)$.

Определим координаты нескольких характерных точек исходного графика и найдем их новые положения:
- Точки пересечения с осью Ox (нули функции), где $y=0$: $(-3, 0)$, $(-1, 0)$, $(2, 0)$, $(4, 0)$. При умножении на 1,5 их ординаты не изменятся, и они останутся на своих местах.
- Точка локального минимума: $(-2, -3)$. Новые координаты: $(-2, -3 \cdot 1,5) = (-2, -4,5)$.
- Точка локального максимума: $(1, 2)$. Новые координаты: $(1, 2 \cdot 1,5) = (1, 3)$.
- Точка локального минимума: $(3, -1)$. Новые координаты: $(3, -1 \cdot 1,5) = (3, -1,5)$.
- Точка пересечения с осью Oy: $(0, 1)$. Новые координаты: $(0, 1 \cdot 1,5) = (0, 1,5)$.
Соединив новые точки плавной линией, мы получим график функции $y = 1,5f(x)$, который будет растянут от оси Ox в 1,5 раза по сравнению с исходным.

Ответ: Чтобы построить график $y = 1,5f(x)$, нужно ординату каждой точки графика $y = f(x)$ умножить на 1,5, оставив абсциссу без изменений. График будет растянут по вертикали в 1,5 раза.

y = $-\frac{1}{3}f(x)$

График функции $y = -\frac{1}{3}f(x)$ получается из графика $y = f(x)$ путем двух преобразований: сжатия вдоль оси Oy в 3 раза (умножение ординат на $\frac{1}{3}$) и симметричного отражения относительно оси Ox (из-за знака минус). Иными словами, для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходном графике соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, -\frac{1}{3}y_0)$.

Определим новые координаты для характерных точек:
- Точки пересечения с осью Ox: $(-3, 0)$, $(-1, 0)$, $(2, 0)$, $(4, 0)$. Они останутся на месте, так как их ордината равна нулю.
- Точка локального минимума: $(-2, -3)$. Новые координаты: $(-2, -3 \cdot (-\frac{1}{3})) = (-2, 1)$. Эта точка станет точкой локального максимума.
- Точка локального максимума: $(1, 2)$. Новые координаты: $(1, 2 \cdot (-\frac{1}{3})) = (1, -\frac{2}{3})$. Эта точка станет точкой локального минимума.
- Точка локального минимума: $(3, -1)$. Новые координаты: $(3, -1 \cdot (-\frac{1}{3})) = (3, \frac{1}{3})$. Эта точка станет точкой локального максимума.
- Точка пересечения с осью Oy: $(0, 1)$. Новые координаты: $(0, 1 \cdot (-\frac{1}{3})) = (0, -\frac{1}{3})$.
Соединив новые точки плавной линией, мы получим график функции $y = -\frac{1}{3}f(x)$. Он будет сжат к оси Ox в 3 раза и отражен относительно нее.

Ответ: Чтобы построить график $y = -\frac{1}{3}f(x)$, нужно ординату каждой точки графика $y = f(x)$ умножить на $-\frac{1}{3}$, оставив абсциссу без изменений. График будет сжат по вертикали в 3 раза и симметрично отражен относительно оси Ox.