Номер 11, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 9. Построение графика функции y = kf(x) - номер 11, страница 88.

Условие.

11. Постройте график функции

$y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте на этом же рисунке графики функций

$y = \frac{1}{2}\sqrt{x}$ и $y = -3\sqrt{x}$.

Решение.

Подстановка в формулы, задающие

ки M, полу

Решение.

$y = \sqrt{x}$

Сначала построим базовый график функции $y = \sqrt{x}$. Область определения этой функции — все неотрицательные числа, то есть $x \ge 0$. Составим таблицу значений для нескольких удобных точек, выбирая $x$ так, чтобы из него легко извлекался квадратный корень.

Если $x = 0$, то $y = \sqrt{0} = 0$. Получаем точку $(0; 0)$.
Если $x = 1$, то $y = \sqrt{1} = 1$. Получаем точку $(1; 1)$.
Если $x = 4$, то $y = \sqrt{4} = 2$. Получаем точку $(4; 2)$.
Если $x = 9$, то $y = \sqrt{9} = 3$. Получаем точку $(9; 3)$.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой. Это будет ветвь параболы, лежащая в первой координатной четверти.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x}$ — это кривая, проходящая через точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3).

$y = \frac{1}{2}\sqrt{x}$

Чтобы построить график функции $y = \frac{1}{2}\sqrt{x}$, можно использовать уже построенный график $y = \sqrt{x}$. График функции $y = k \cdot f(x)$ получается из графика $y = f(x)$ преобразованием вдоль оси OY. В нашем случае $k = \frac{1}{2}$. Так как $0 < k < 1$, это будет сжатие графика к оси OX в $\frac{1}{k} = 2$ раза. Другими словами, ординату (координату $y$) каждой точки графика $y = \sqrt{x}$ нужно умножить на $\frac{1}{2}$ (или разделить на 2), оставив абсциссу ($x$) без изменений.

Возьмем ключевые точки графика $y = \sqrt{x}$ и преобразуем их:
Точка $(0; 0)$ останется на месте: $y = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \rightarrow (0; 0)$.
Точка $(1; 1)$ перейдет в точку $(1; 0,5)$, так как $y = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0,5$.
Точка $(4; 2)$ перейдет в точку $(4; 1)$, так как $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.
Точка $(9; 3)$ перейдет в точку $(9; 1,5)$, так как $y = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5$.

Отметим новые точки и соединим их плавной кривой. Этот график также начнется в точке (0; 0) и будет расположен под графиком $y = \sqrt{x}$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}\sqrt{x}$ — это кривая, проходящая через точки (0; 0), (1; 0,5), (4; 1), (9; 1,5).

$y = -3\sqrt{x}$

Для построения графика функции $y = -3\sqrt{x}$ также используем график $y = \sqrt{x}$. Здесь коэффициент $k = -3$. Преобразование состоит из двух шагов:
1. Растяжение графика $y = \sqrt{x}$ вдоль оси OY в 3 раза (так как $|k|=3$).
2. Отражение полученного графика относительно оси OX (так как $k < 0$).
Это означает, что ординату каждой точки графика $y = \sqrt{x}$ нужно умножить на -3, оставив абсциссу без изменений.

Преобразуем ключевые точки:
Точка $(0; 0)$ останется на месте: $y = -3 \cdot 0 = 0 \rightarrow (0; 0)$.
Точка $(1; 1)$ перейдет в точку $(1; -3)$, так как $y = -3 \cdot 1 = -3$.
Точка $(4; 2)$ перейдет в точку $(4; -6)$, так как $y = -3 \cdot 2 = -6$.
Точка $(9; 3)$ перейдет в точку $(9; -9)$, так как $y = -3 \cdot 3 = -9$.

Отметим точки, которые помещаются на предоставленной координатной сетке (например, (0; 0) и (1; -3)), и соединим их плавной кривой, уходящей вниз в четвертую координатную четверть.

Ответ: График функции $y = -3\sqrt{x}$ — это кривая, проходящая через точки (0; 0), (1; -3), (4; -6) и расположенная в четвертой координатной четверти.