Номер 1, страница 90, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 10. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 1, страница 90.

Условие.

Повторяем теорию

1. Заполните пропуски.

1) График функции $y = f(x) + b$ можно получить в результате графика функции $y = f(x)$ на , если $b > 0$, и на , если $b < 0$.

2) График функции $y = f(x + a)$ можно получить в результате графика функции $y = f(x)$ на .

3) Графиком функции $y = k (x + a)^2 + b, k \neq 0$, является , вершина которой находится в точке ( ; ).

Решение.

1)

Преобразование функции вида $y = f(x) + b$ соответствует вертикальному сдвигу (параллельному переносу) графика функции $y = f(x)$ вдоль оси ординат $Oy$. Величина и направление сдвига определяются значением константы $b$.

• Если $b > 0$, то значение функции $f(x)$ увеличивается на $b$ для каждой точки $x$. Это приводит к смещению графика на $b$ единиц вверх.
• Если $b < 0$, то значение функции $f(x)$ уменьшается на величину $|b|$. Это приводит к смещению графика на $|b|$ единиц вниз.

Таким образом, данное преобразование является параллельным переносом.

Ответ: параллельного переноса; $b$ единиц вверх; $|b|$ единиц вниз.

2)

Преобразование функции вида $y = f(x + a)$ соответствует горизонтальному сдвигу (параллельному переносу) графика функции $y = f(x)$ вдоль оси абсцисс $Ox$.

Чтобы определить направление сдвига, рассмотрим, как изменяется координата $x$. Чтобы значение аргумента новой функции, $(x_{новое} + a)$, было таким же, как у старой функции, $x_{старое}$, должно выполняться равенство: $x_{новое} + a = x_{старое}$. Отсюда $x_{новое} = x_{старое} - a$.

• Если $a > 0$, то $x_{новое} = x_{старое} - a$. Это означает, что каждая точка графика сдвигается на $a$ единиц влево.
• Если $a < 0$, то $x_{новое} = x_{старое} - a = x_{старое} + |a|$. Это означает, что каждая точка графика сдвигается на $|a|$ единиц вправо.

Следовательно, преобразование является параллельным переносом, а сдвиг зависит от знака $a$.

Ответ: параллельного переноса; $|a|$ единиц влево, если $a > 0$, и $|a|$ единиц вправо, если $a < 0$.

3)

Функция $y = k(x + a)^2 + b$ при $k \neq 0$ является квадратичной функцией, поскольку при раскрытии скобок старшая степень переменной $x$ будет равна двум. Графиком любой квадратичной функции является парабола.

Уравнение задано в вершинной форме $y = k(x - x_0)^2 + y_0$, где точка $(x_0; y_0)$ является вершиной параболы.

Сравним данное уравнение $y = k(x + a)^2 + b$ со стандартной вершинной формой. Для этого запишем $x+a$ в виде $x - (-a)$. Получаем:

$y = k(x - (-a))^2 + b$

Из этого сравнения видно, что абсцисса вершины $x_0 = -a$, а ордината вершины $y_0 = b$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-a; b)$.

Ответ: парабола; $-a$; $b$.