Номер 4, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 9. Построение графика функции y = kf(x) - номер 4, страница 85.

Условие.

4. Даны парабола и прямая. Укажите: направление ветвей параболы, записав в соответствующей ячейке таблицы слово «вверх» или слово «вниз»; пересекаются ли парабола и прямая, записав в соответствующей ячейке слово «да» или слово «нет». Если парабола и прямая пересекаются, укажите в соответствующей ячейке координаты точек пересечения.

Парабола

$y = 4x^2$

Прямая

$y = 16$

Направление ветвей параболы

Пересекаются ли парабола и прямая

Координаты точек пересечения

Парабола

$y = -3x^2$

Прямая

$y = 1$

Направление ветвей параболы

Пересекаются ли парабола и прямая

Координаты точек пересечения

Парабола

$y = -0,6x^2$

Прямая

$y = -300$

Направление ветвей параболы

Пересекаются ли парабола и прямая

Координаты точек пересечения

Парабола

$y = \frac{3}{7}x^2$

Прямая

$y = -4$

Направление ветвей параболы

Пересекаются ли парабола и прямая

Координаты точек пересечения

Парабола

$y = \frac{2}{9}x^2$

Прямая

$y = 7200$

Направление ветвей параболы

Пересекаются ли парабола и прямая

Координаты точек пересечения

Решение.

Парабола $y = 4x^2$ и прямая $y = 16$

Направление ветвей параболы

Уравнение параболы имеет вид $y = ax^2$. В данном случае коэффициент $a = 4$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Ответ: вверх

Пересекаются ли парабола и прямая

Чтобы найти точки пересечения, нужно решить систему уравнений. Приравняем правые части уравнений: $4x^2 = 16$. Разделим обе части на 4, получим $x^2 = 4$. Это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Следовательно, парабола и прямая пересекаются.

Ответ: да

Координаты точек пересечения

Мы нашли абсциссы точек пересечения $x = \pm 2$. Ордината этих точек задана уравнением прямой $y = 16$. Таким образом, получаем две точки пересечения.

Ответ: $(-2; 16)$ и $(2; 16)$

---

Парабола $y = -3x^2$ и прямая $y = 1$

Направление ветвей параболы

Коэффициент при $x^2$ равен $a = -3$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Ответ: вниз

Пересекаются ли парабола и прямая

Приравняем правые части уравнений: $-3x^2 = 1$. Отсюда $x^2 = -\frac{1}{3}$. Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому данное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола и прямая не пересекаются.

Ответ: нет

Координаты точек пересечения

Так как графики не пересекаются, точек пересечения нет.

Ответ: -

---

Парабола $y = -0,6x^2$ и прямая $y = -300$

Направление ветвей параболы

Коэффициент при $x^2$ равен $a = -0,6$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Ответ: вниз

Пересекаются ли парабола и прямая

Приравняем правые части уравнений: $-0,6x^2 = -300$. Разделим обе части на -0,6: $x^2 = \frac{-300}{-0,6} = \frac{3000}{6} = 500$. Так как $500 > 0$, уравнение имеет два действительных корня, и графики пересекаются.

Ответ: да

Координаты точек пересечения

Из уравнения $x^2 = 500$ находим абсциссы: $x = \pm\sqrt{500} = \pm\sqrt{100 \cdot 5} = \pm 10\sqrt{5}$. Ордината точек пересечения $y = -300$.

Ответ: $(-10\sqrt{5}; -300)$ и $(10\sqrt{5}; -300)$

---

Парабола $y = \frac{3}{7}x^2$ и прямая $y = -4$

Направление ветвей параболы

Коэффициент при $x^2$ равен $a = \frac{3}{7}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Ответ: вверх

Пересекаются ли парабола и прямая

Приравняем правые части уравнений: $\frac{3}{7}x^2 = -4$. Отсюда $x^2 = -4 \cdot \frac{7}{3} = -\frac{28}{3}$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным для действительных чисел, уравнение не имеет решений. Графики не пересекаются.

Ответ: нет

Координаты точек пересечения

Точек пересечения не существует.

Ответ: -

---

Парабола $y = \frac{2}{9}x^2$ и прямая $y = 7200$

Направление ветвей параболы

Коэффициент при $x^2$ равен $a = \frac{2}{9}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Ответ: вверх

Пересекаются ли парабола и прямая

Приравняем правые части уравнений: $\frac{2}{9}x^2 = 7200$. Выразим $x^2$: $x^2 = 7200 \cdot \frac{9}{2} = 3600 \cdot 9 = 32400$. Так как $32400 > 0$, уравнение имеет два действительных корня, и графики пересекаются.

Ответ: да

Координаты точек пересечения

Из уравнения $x^2 = 32400$ находим абсциссы: $x = \pm\sqrt{32400} = \pm\sqrt{324 \cdot 100} = \pm 18 \cdot 10 = \pm 180$. Ордината точек пересечения $y = 7200$.

Ответ: $(-180; 7200)$ и $(180; 7200)$