Номер 19, страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 8. Свойства функции - номер 19, страница 84.

Условие.

19. Докажите, что функция $f(x)=8x-x^2$ возрастает на промежутке $(-\infty; 4]$.

Решение.

Решение.

Решение.

Чтобы доказать, что функция возрастает на заданном промежутке, можно использовать ее производную. Функция возрастает там, где ее производная неотрицательна (больше или равна нулю).

1. Найдем производную функции $f(x) = 8x - x^2$.

$f'(x) = (8x - x^2)' = (8x)' - (x^2)' = 8 - 2x$.

2. Определим, на каком промежутке производная $f'(x)$ является неотрицательной. Для этого решим неравенство:

$f'(x) \ge 0$

$8 - 2x \ge 0$

Перенесем $2x$ в правую часть:

$8 \ge 2x$

Разделим обе части неравенства на 2:

$4 \ge x$, что то же самое, что и $x \le 4$.

3. Решением неравенства является промежуток $(-\infty; 4]$.

Таким образом, производная функции $f'(x)$ неотрицательна на промежутке $(-\infty; 4]$, следовательно, функция $f(x) = 8x - x^2$ возрастает на этом промежутке, что и требовалось доказать.

Альтернативное доказательство:

График функции $f(x) = 8x - x^2 = -x^2 + 8x$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен, $a = -1 < 0$).

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = -\frac{8}{-2} = 4$.

Парабола с ветвями вниз возрастает на промежутке до своей вершины, то есть на $(-\infty; x_0]$. В нашем случае это промежуток $(-\infty; 4]$.

Ответ: Утверждение доказано: производная функции $f'(x) = 8 - 2x$ неотрицательна при $x \le 4$, что соответствует промежутку $(-\infty; 4]$.