Номер 12, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 8. Свойства функции - номер 12, страница 81.

Условие.

12. При каких значениях a функция $y = x^2 - 2(a + 1)x + a^2 - 3 = 0$ имеет два нуля?

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Данная функция $y = x^2 - 2(a + 1)x + a^2 - 3$ является квадратичной. Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Следовательно, задача сводится к нахождению таких значений параметра $a$, при которых квадратное уравнение $x^2 - 2(a + 1)x + a^2 - 3 = 0$ имеет два различных действительных корня.

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант (D) строго больше нуля ($D > 0$).

Формула дискриминанта для уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ есть $D = B^2 - 4AC$. В нашем случае коэффициенты равны: $A = 1$, $B = -2(a + 1)$, $C = a^2 - 3$.

Вычислим дискриминант:
$D = (-2(a + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 3)$
$D = 4(a + 1)^2 - 4(a^2 - 3)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$D = 4(a^2 + 2a + 1) - 4a^2 + 12$
$D = 4a^2 + 8a + 4 - 4a^2 + 12$
$D = 8a + 16$

Теперь решим неравенство $D > 0$:
$8a + 16 > 0$
$8a > -16$
$a > \frac{-16}{8}$
$a > -2$

Таким образом, функция имеет два нуля при всех значениях $a$, больших -2.

Ответ: $a \in (-2; +\infty)$.