Номер 5, страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 8. Свойства функции - номер 5, страница 77.

Условие.

5. Найдите нули функции:

1) $y = 0,4x + 6;$

Решение.

Чтобы найти нули функции,

решим уравнение

Ответ:

2) $y = 24 - 2x - x^2;$

Решение.

Ответ:

3) $y = \sqrt{x^2 - 3x};$

Решение.

Ответ:

4) $y = x^3 - 2x^2 - x + 2;$

Решение.

Ответ:

5) $y = \frac{x^2 + 4}{x};$

Решение.

Чтобы найти нули функции,

решим уравнение $\frac{x^2 + 4}{x} = 0.$

Это уравнение равносильно

системе

Ответ:

6) $y = \frac{x^2 + x - 12}{x - 3}.$

Решение.

Ответ:

Решение.

1) y = 0,4x + 6;
Чтобы найти нули функции, нужно приравнять y к нулю и решить полученное уравнение:
$0,4x + 6 = 0$
$0,4x = -6$
$x = \frac{-6}{0,4}$
$x = -15$
Ответ: -15.

2) y = 24 - 2x - x²;
Приравняем функцию к нулю:
$24 - 2x - x^2 = 0$
Умножим обе части уравнения на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$x^2 + 2x - 24 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6$
Нули функции: -6 и 4.
Ответ: -6; 4.

3) y = √x² - 3x;
Приравняем функцию к нулю:
$\sqrt{x^2 - 3x} = 0$
Область допустимых значений (ОДЗ) для этой функции определяется условием $x^2 - 3x \ge 0$, то есть $x(x-3) \ge 0$, что выполняется при $x \in (-\infty, 0] \cup [3, \infty)$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x^2 - 3x = 0$
Вынесем x за скобки:
$x(x - 3) = 0$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 0$
$x_2 = 3$
Оба корня принадлежат ОДЗ.
Ответ: 0; 3.

4) y = x³ - 2x² - x + 2;
Приравняем функцию к нулю:
$x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$
Решим уравнение методом группировки:
$(x^3 - 2x^2) - (x - 2) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0$
Вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:
$(x^2 - 1)(x - 2) = 0$
Разложим первый множитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - 1)(x + 1)(x - 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$
$x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$
$x - 2 = 0 \Rightarrow x_3 = 2$
Ответ: -1; 1; 2.

5) y = (x² + 4)/x;
Чтобы найти нули функции, приравняем ее к нулю:
$\frac{x^2 + 4}{x} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 + 4 = 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$
Решим первое уравнение: $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -4$.
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, у функции нет нулей.
Ответ: нулей нет.

6) y = (x² + x - 12)/(x - 3);
Приравняем функцию к нулю:
$\frac{x^2 + x - 12}{x - 3} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 + x - 12 = 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases}$
Решим квадратное уравнение $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -12$
Корни уравнения: $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.
Теперь проверим условие $x - 3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.
Корень $x_2 = 3$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним.
Единственным нулем функции является $x = -4$.
Ответ: -4.