Номер 6, страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 8. Свойства функции - номер 6, страница 78.

Условие.

6. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

1) $f(x) = -4x + 36$;

Решение.

Решим неравенство $-4x + 36 > 0$. Имеем: $-4x > -36$;

Следовательно, данная функция принимает положительные значения

на промежутке

Решим неравенство $-4x + 36 < 0$. Имеем:

Следовательно, данная функция принимает отрицательные значения

на промежутке

2) $f(x) = -x^2 + 4x - 4$;

Решение.

3) $f(x) = \frac{8}{2x - 18}$;

Решение.

Решение.

1) f(x) = -4x + 36

Чтобы найти промежутки знакопостоянства, определим, при каких значениях $x$ функция положительна ($f(x) > 0$) и при каких отрицательна ($f(x) < 0$).

Решим неравенство $-4x + 36 > 0$.
Перенесем 36 в правую часть: $-4x > -36$.
Разделим обе части на -4, изменив знак неравенства на противоположный: $x < 9$.
Следовательно, данная функция принимает положительные значения на промежутке $(-\infty; 9)$.

Решим неравенство $-4x + 36 < 0$.
Перенесем 36 в правую часть: $-4x < -36$.
Разделим обе части на -4, изменив знак неравенства на противоположный: $x > 9$.
Следовательно, данная функция принимает отрицательные значения на промежутке $(9; +\infty)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 9)$; $f(x) < 0$ при $x \in (9; +\infty)$.

2) f(x) = -x² + 4x - 4

Найдем нули функции, решив уравнение $f(x) = 0$:
$-x^2 + 4x - 4 = 0$
Умножим обе части на -1:
$x^2 - 4x + 4 = 0$
Это формула квадрата разности:
$(x - 2)^2 = 0$
Функция имеет один корень $x = 2$.

Данная функция — квадратичная, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$, где она касается оси Ox.

Таким образом, функция равна нулю при $x = 2$ и принимает отрицательные значения при всех остальных значениях $x$. Положительных значений функция не принимает.

Ответ: $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$; промежутков, где $f(x) > 0$, не существует.

3) f(x) = 8 / (2x - 18)

Знак данной дробно-рациональной функции зависит от знака знаменателя, так как числитель (8) всегда положителен.

Найдем, при каких значениях $x$ функция положительна ($f(x) > 0$):
$\frac{8}{2x - 18} > 0$
Так как $8 > 0$, неравенство выполняется, когда знаменатель тоже положителен:
$2x - 18 > 0$
$2x > 18$
$x > 9$
Следовательно, $f(x) > 0$ на промежутке $(9; +\infty)$.

Найдем, при каких значениях $x$ функция отрицательна ($f(x) < 0$):
$\frac{8}{2x - 18} < 0$
Так как $8 > 0$, неравенство выполняется, когда знаменатель отрицателен:
$2x - 18 < 0$
$2x < 18$
$x < 9$
Следовательно, $f(x) < 0$ на промежутке $(-\infty; 9)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (9; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 9)$.