Номер 10, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 8. Свойства функции - номер 10, страница 80.

Условие.

10. Начертите график какой-либо функции, определённой на промежутке $ [-5; 5] $, такой, что функция возрастает на каждом из промежутков $ [-5; -2] $ и $ [1; 3] $, убывает на каждом из промежутков $ [-2; 1] $ и $ [3; 5] $.

Решение.

Для построения графика функции $y = f(x)$ проанализируем заданные условия:

• Область определения: функция определена на отрезке $[-5; 5]$.
• Промежутки возрастания: функция возрастает на каждом из отрезков $[-5; -2]$ и $[1; 3]$. Это означает, что при движении по оси $x$ слева направо на этих отрезках, график функции идет вверх.
• Промежутки убывания: функция убывает на каждом из отрезков $[-2; 1]$ и $[3; 5]$. Это означает, что при движении по оси $x$ слева направо на этих отрезках, график функции идет вниз.

Из смены характера монотонности функции в граничных точках промежутков можно сделать выводы о наличии точек экстремума (локальных максимумов и минимумов):

• В точке $x = -2$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка локального максимума.
• В точке $x = 1$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка локального минимума.
• В точке $x = 3$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это еще одна точка локального максимума.

Условиям задачи удовлетворяет бесконечное множество функций. Для построения одного из возможных графиков выберем произвольные, но подходящие по условиям, значения функции в граничных точках области определения ($x=-5$ и $x=5$) и в точках экстремума ($x=-2$, $x=1$, $x=3$). Самый простой вариант — соединить эти точки отрезками прямых.

Выберем следующие координаты для этих ключевых точек:

• $f(-5) = -2$, точка $(-5, -2)$
• $f(-2) = 2$, точка локального максимума $(-2, 2)$
• $f(1) = -1$, точка локального минимума $(1, -1)$
• $f(3) = 1$, точка локального максимума $(3, 1)$
• $f(5) = -3$, точка $(5, -3)$

Проверим, что выбранные точки удовлетворяют условиям:

• На отрезке $[-5; -2]$ значение функции изменяется от -2 до 2, то есть функция возрастает.
• На отрезке $[-2; 1]$ значение функции изменяется от 2 до -1, то есть функция убывает.
• На отрезке $[1; 3]$ значение функции изменяется от -1 до 1, то есть функция возрастает.
• На отрезке $[3; 5]$ значение функции изменяется от 1 до -3, то есть функция убывает.

Все условия выполнены. Построим график, соединив указанные точки.

Ответ:

Один из возможных графиков функции, удовлетворяющей условиям задачи, представлен ниже.