Номер 17, страница 83, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 8. Свойства функции - номер 17, страница 83.

Условие.

17. Докажите, что функция $f(x) = \frac{12}{x+3}$ убывает на промежутке $(-\infty; -3)$.

Решение.

Решение.

Решение.

Для того чтобы доказать, что функция убывает на заданном промежутке, можно использовать производную. Функция является убывающей на промежутке, если ее производная отрицательна для всех значений $x$ из этого промежутка.

1. Найдем производную функции $f(x) = \frac{12}{x + 3}$.

Для удобства дифференцирования представим функцию в виде степенной: $f(x) = 12(x + 3)^{-1}$.

Используем правило дифференцирования сложной и степенной функции: $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

$f'(x) = 12 \cdot (-1) \cdot (x + 3)^{-1-1} \cdot (x+3)' = -12 \cdot (x + 3)^{-2} \cdot 1$.

Таким образом, производная равна:

$f'(x) = -\frac{12}{(x + 3)^2}$.

2. Определим знак производной на промежутке $(-\infty; -3)$.

Рассмотрим выражение для производной $f'(x) = -\frac{12}{(x + 3)^2}$:

• Числитель дроби равен $-12$, что является отрицательным числом.
• Знаменатель дроби, $(x + 3)^2$, представляет собой квадрат выражения. Для любого $x$ из промежутка $(-\infty; -3)$, выражение $x + 3$ не равно нулю, следовательно, его квадрат $(x + 3)^2$ всегда будет строго положительным числом.

Таким образом, производная $f'(x)$ является частным от деления отрицательного числа на положительное число, что всегда дает в результате отрицательное число. Следовательно, $f'(x) < 0$ для всех $x$ из промежутка $(-\infty; -3)$.

Поскольку производная функции отрицательна на всем промежутке $(-\infty; -3)$, то функция $f(x) = \frac{12}{x + 3}$ монотонно убывает на этом промежутке.

Ответ: Утверждение доказано, так как производная функции $f'(x)$ отрицательна на всем промежутке $(-\infty; -3)$.