Номер 16, страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 8. Свойства функции - номер 16, страница 82.

Условие.

16. Докажите, что функция $f(x) = \frac{8}{2-x}$ возрастает на промежутке $(2; +\infty)$.

Решение.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — произвольные значения аргумента, принадлежащие промежутку $(2; +\infty)$, причём $x_2 > x_1$. Рассмотрим разность $f(x_2) - f(x_1)$.

Имеем:

$f(x_2) - f(x_1) = \frac{8}{2-x_2} - \frac{8}{2-x_1} = \frac{8(2-x_1) - 8(2-x_2)}{(2-x_2)(2-x_1)} = \frac{16 - 8x_1 - 16 + 8x_2}{(2-x_2)(2-x_1)}$

$= \frac{8x_2 - 8x_1}{(2-x_2)(2-x_1)} = \frac{8(x_2 - x_1)}{(2-x_2)(2-x_1)}$.

Поскольку $x_2 \in (2; +\infty)$ и $x_1 \in (2; +\infty)$, то $2 - x_2 < 0$, $2 - x_1 < 0$.

Поскольку $x_2 > x_1$, то $x_2 - x_1 > 0$.

Следовательно,

$\frac{8(x_2 - x_1)}{(2-x_2)(2-x_1)} > 0$; $f(x_2) - f(x_1) > 0$; $f(x_2) > f(x_1)$, то есть данная функция возрастает на промежутке $(2; +\infty)$.

Решение.

Чтобы доказать, что функция $f(x) = \frac{8}{2-x}$ возрастает на промежутке $(2; +\infty)$, нужно показать, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$. Для этого рассмотрим разность $f(x_2) - f(x_1)$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ – произвольные значения аргумента, принадлежащие промежутку $(2; +\infty)$, причём $x_2 > x_1$.

Рассмотрим разность $f(x_2) - f(x_1)$:

$f(x_2) - f(x_1) = \frac{8}{2-x_2} - \frac{8}{2-x_1} = \frac{8(2-x_1) - 8(2-x_2)}{(2-x_2)(2-x_1)} = \frac{16 - 8x_1 - 16 + 8x_2}{(2-x_2)(2-x_1)} = \frac{8x_2 - 8x_1}{(2-x_2)(2-x_1)} = \frac{8(x_2 - x_1)}{(2-x_2)(2-x_1)}$.

Теперь оценим знак полученного выражения.

Поскольку $x_2 \in (2; +\infty)$ и $x_1 \in (2; +\infty)$, это означает, что $x_2 > 2$ и $x_1 > 2$. Следовательно, $2-x_2 < 0$ и $2-x_1 < 0$.

Поскольку по условию $x_2 > x_1$, то разность $x_2 - x_1 > 0$.

Следовательно, мы имеем дробь, у которой:

• Числитель $8(x_2 - x_1)$ положителен (так как $8 > 0$ и $x_2 - x_1 > 0$).
• Знаменатель $(2-x_2)(2-x_1)$ положителен (так как является произведением двух отрицательных чисел).

Таким образом, вся дробь положительна:

$\frac{8(x_2 - x_1)}{(2-x_2)(2-x_1)} > 0$.

Это означает, что $f(x_2) - f(x_1) > 0$, откуда следует, что $f(x_2) > f(x_1)$.

Так как для любых $x_1, x_2$ из промежутка $(2; +\infty)$ из того, что $x_2 > x_1$, следует, что $f(x_2) > f(x_1)$, то по определению данная функция возрастает на промежутке $(2; +\infty)$.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = \frac{8}{2-x}$ возрастает на промежутке $(2; +\infty)$.