Номер 2, страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 9. Построение графика функции y = kf(x) - номер 2, страница 84.

Условие.

2. Заполните таблицу свойств функции $y = ax^2$, $a \ne 0$.

Область определения

$a > 0$: $(-\infty; +\infty)$

$a < 0$: $(-\infty; +\infty)$

Область значений

$a > 0$: $[0; +\infty)$

$a < 0$: $(-\infty; 0]$

Окончание

Нули функции

$a > 0$: $x=0$

$a < 0$: $x=0$

Промежутки знакопостоянства

$a > 0$: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

$a < 0$: $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

Возрастает на промежутке

$a > 0$: $[0; +\infty)$

$a < 0$: $(-\infty; 0]$

Убывает на промежутке

$a > 0$: $(-\infty; 0]$

$a < 0$: $[0; +\infty)$

Решение.

Область определения

Функция $y = ax^2$ является квадратичной и определена для всех действительных чисел $x$. Это свойство не зависит от знака коэффициента $a$.

Ответ: для $a > 0$ — $(-\infty; +\infty)$; для $a < 0$ — $(-\infty; +\infty)$.

Область значений

Область значений зависит от направления ветвей параболы, которое определяется знаком коэффициента $a$. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. При $a > 0$ ветви направлены вверх, и вершина является точкой минимума. При $a < 0$ ветви направлены вниз, и вершина является точкой максимума.

Ответ: для $a > 0$ — $[0; +\infty)$; для $a < 0$ — $(-\infty; 0]$.

Нули функции

Чтобы найти нули функции, решим уравнение $ax^2 = 0$. Поскольку по условию $a \neq 0$, единственным решением является $x = 0$.

Ответ: для $a > 0$ — $x = 0$; для $a < 0$ — $x = 0$.

Промежутки знакопостоянства

Знак функции $y = ax^2$ при $x \neq 0$ совпадает со знаком коэффициента $a$, так как множитель $x^2$ всегда положителен. При $x=0$ функция равна нулю.

Ответ: для $a > 0$ — $y > 0$ на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; для $a < 0$ — $y < 0$ на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Возрастает на промежутке

При $a > 0$ (ветви параболы направлены вверх) функция убывает до своей вершины ($x=0$) и возрастает после нее. При $a < 0$ (ветви параболы направлены вниз) функция возрастает до своей вершины и убывает после нее.

Ответ: для $a > 0$ — на промежутке $[0; +\infty)$; для $a < 0$ — на промежутке $(-\infty; 0]$.

Убывает на промежутке

Исходя из анализа монотонности, проведенного в предыдущем пункте:

Ответ: для $a > 0$ — на промежутке $(-\infty; 0]$; для $a < 0$ — на промежутке $[0; +\infty)$.