Номер 7, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Элементы прикладной математики. Параграф 17. Основные правила комбинаторики - номер 7, страница 60.

Условие.

7. В 9 «А» классе учится 30 человек, а в 9 «Б» классе – 32 человека. Для участия в школьной конференции от этих классов надо делегировать трёх человек, причём каждый класс должен делегировать хотя бы одного. Сколько существует способов сформировать делегацию от этих двух классов?

Решение.

Возможны два случая: в делегацию входит два представителя 9 «А» класса и один представитель 9 «Б» класса или один представитель 9 «А» класса и два представителя 9 «Б» класса.

В первом случае двух представителей 9 «А» класса можно выбрать 30 . ____ = ____ способами, а одного представителя 9 «Б» класса – ____ способами. Всего в этом случае имеем ____ способов формирования делегации.

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

Ответ:

____________________________________________________________________________________________________

Решение.

Для формирования делегации из 3 человек, в которой от 9 «А» класса (30 человек) и 9 «Б» класса (32 человека) будет хотя бы по одному представителю, необходимо рассмотреть два возможных варианта состава делегации.

В делегацию входит два представителя 9 «А» класса и один представитель 9 «Б» класса
Число способов выбрать 2 учеников из 30 в 9 «А» классе находится по формуле сочетаний, так как порядок выбора не имеет значения: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
$C_{30}^2 = \frac{30!}{2!(30-2)!} = \frac{30 \times 29}{2 \times 1} = 15 \times 29 = 435$ способов.
Число способов выбрать 1 ученика из 32 в 9 «Б» классе равно:
$C_{32}^1 = \frac{32!}{1!(32-1)!} = 32$ способа.
Общее число способов для этого случая находим по правилу произведения:
$N_1 = C_{30}^2 \times C_{32}^1 = 435 \times 32 = 13920$ способов.

В делегацию входит один представитель 9 «А» класса и два представителя 9 «Б» класса
Число способов выбрать 1 ученика из 30 в 9 «А» классе равно:
$C_{30}^1 = \frac{30!}{1!(30-1)!} = 30$ способов.
Число способов выбрать 2 учеников из 32 в 9 «Б» классе равно:
$C_{32}^2 = \frac{32!}{2!(32-2)!} = \frac{32 \times 31}{2 \times 1} = 16 \times 31 = 496$ способов.
Общее число способов для этого случая равно:
$N_2 = C_{30}^1 \times C_{32}^2 = 30 \times 496 = 14880$ способов.

Так как эти два случая являются взаимоисключающими, общее число способов сформировать делегацию находится по правилу сложения:
$N = N_1 + N_2 = 13920 + 14880 = 28800$ способов.

Ответ: 28800.