Номер 11, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Элементы прикладной математики. Параграф 17. Основные правила комбинаторики - номер 11, страница 61.

Условие.

11. Сколько семизначных нечётных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

Решение.

Последнюю цифру можно выбрать одним из ____ способов: 1, ________

Первую цифру можно выбрать из оставшихся ____ цифр ________ способами, вторую — ____ способами,

Ответ:

Решение.

Решение.

Задача состоит в том, чтобы найти количество семизначных нечётных чисел, составленных из цифр {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} так, чтобы все цифры в числе были различны.

Так как мы используем 7 различных цифр для составления семизначного числа, каждая цифра из набора будет использована ровно один раз. Это задача на перестановки с ограничением.

Ограничение заключается в том, что число должно быть нечётным. Это значит, что оно должно оканчиваться на нечётную цифру. В данном наборе нечётными являются цифры: 1, 3, 5, 7.

1. Начнём с выбора последней цифры, так как на неё наложено ограничение. На позицию единиц (последнюю позицию) можно поставить любую из четырёх нечётных цифр. Таким образом, есть 4 способа выбрать последнюю цифру.

2. После того как последняя цифра выбрана, остаётся 6 цифр из исходного набора. Эти 6 цифр нужно расставить на оставшиеся 6 позиций (с первой по шестую).

- Первую цифру можно выбрать из 6 оставшихся цифр (6 способов).
- Вторую цифру можно выбрать из 5 оставшихся (5 способов).
- Третью — из 4 оставшихся (4 способа).
- Четвертую — из 3 оставшихся (3 способа).
- Пятую — из 2 оставшихся (2 способа).
- Шестую — последнюю оставшуюся цифру (1 способ).

Количество способов расставить оставшиеся 6 цифр равно числу перестановок из 6 элементов, то есть $6!$ (шесть факториал):
$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.

3. Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно перемножить количество способов для каждого шага (по правилу произведения в комбинаторике):
$N = (\text{число способов для последней цифры}) \times (\text{число способов для остальных цифр})$
$N = 4 \times 6! = 4 \times 720 = 2880$.

Ответ: 2880.