Номер 15, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 21. Числовые последовательности - номер 15, страница 77.

Условие.

15. Последовательность $(x_n)$ задана формулой $n$-го члена $x_n = 52 + 4n - n^2$. Найдите номера членов этой последовательности, которые больше 20.

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Последовательность $(x_n)$ задана формулой $n$-го члена $x_n = 52 + 4n - n^2$. Необходимо найти все номера $n$ членов этой последовательности, которые больше 20. Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом, то есть $n \in \mathbb{N}$.

Для нахождения искомых номеров решим неравенство $x_n > 20$:

$52 + 4n - n^2 > 20$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$52 + 4n - n^2 - 20 > 0$

$-n^2 + 4n + 32 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$n^2 - 4n - 32 < 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - 4n - 32 = 0$, чтобы определить интервалы знакопостоянства.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$

Корни уравнения равны:

$n_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

$n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Мы решаем неравенство $n^2 - 4n - 32 < 0$. Графиком функции $y = n^2 - 4n - 32$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции будут отрицательными между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть интервал $-4 < n < 8$.

Так как номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом ($n \ge 1$), нам нужно выбрать все натуральные числа, которые попадают в этот интервал.

Такими числами являются: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.