Номер 17, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 21. Числовые последовательности - номер 17, страница 77.

Условие.

17. Подберите одну из возможных формул $n$-го члена последовательности, первыми членами которой являются числа:

1) $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \ldots : a_n = $

2) $7, 9, 11, 13, 15, \ldots : a_n = $

3) $-5, 10, -20, 40, -80, \ldots : a_n = $

4) $0, 2, 6, 12, 20, \ldots : a_n = $

Решение.

1) Рассмотрим последовательность: $ \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, ... $
Числитель каждого члена последовательности равен 1.
Знаменатели образуют последовательность: 3, 4, 5, 6, 7, ...
Это арифметическая прогрессия, где первый член равен 3, а разность равна 1.
Для $n=1$ знаменатель равен 3, для $n=2$ – 4, для $n=3$ – 5, и так далее.
Можно заметить, что знаменатель для $n$-го члена равен $n+2$.
Таким образом, формула для $n$-го члена последовательности: $a_n = \frac{1}{n+2}$.
Проверка:
$a_1 = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$
$a_2 = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$
$a_3 = \frac{1}{3+2} = \frac{1}{5}$
Формула верна.
Ответ: $a_n = \frac{1}{n+2}$

2) Рассмотрим последовательность: 7, 9, 11, 13, 15, ...
Найдем разность между соседними членами:
$9 - 7 = 2$
$11 - 9 = 2$
$13 - 11 = 2$
Так как разность постоянна и равна 2, это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 7$ и разностью $d = 2$.
Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим наши значения: $a_n = 7 + (n-1) \cdot 2 = 7 + 2n - 2 = 2n + 5$.
Проверка:
$a_1 = 2 \cdot 1 + 5 = 7$
$a_2 = 2 \cdot 2 + 5 = 9$
$a_3 = 2 \cdot 3 + 5 = 11$
Формула верна.
Ответ: $a_n = 2n + 5$

3) Рассмотрим последовательность: –5, 10, –20, 40, –80, ...
Знаки членов чередуются, что указывает на геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.
Найдем отношение соседних членов:
$\frac{10}{-5} = -2$
$\frac{-20}{10} = -2$
$\frac{40}{-20} = -2$
Это геометрическая прогрессия с первым членом $a_1 = -5$ и знаменателем $q = -2$.
Формула $n$-го члена геометрической прогрессии: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставим наши значения: $a_n = -5 \cdot (-2)^{n-1}$.
Проверка:
$a_1 = -5 \cdot (-2)^{1-1} = -5 \cdot (-2)^0 = -5 \cdot 1 = -5$
$a_2 = -5 \cdot (-2)^{2-1} = -5 \cdot (-2)^1 = 10$
$a_3 = -5 \cdot (-2)^{3-1} = -5 \cdot (-2)^2 = -5 \cdot 4 = -20$
Формула верна.
Ответ: $a_n = -5 \cdot (-2)^{n-1}$

4) Рассмотрим последовательность: 0, 2, 6, 12, 20, ...
Эта последовательность не является ни арифметической, ни геометрической.
Попробуем найти закономерность, представив члены последовательности в виде произведения:
$a_1 = 0 = 0 \cdot 1 = (1-1) \cdot 1$
$a_2 = 2 = 1 \cdot 2 = (2-1) \cdot 2$
$a_3 = 6 = 2 \cdot 3 = (3-1) \cdot 3$
$a_4 = 12 = 3 \cdot 4 = (4-1) \cdot 4$
$a_5 = 20 = 4 \cdot 5 = (5-1) \cdot 5$
Видно, что каждый $n$-й член последовательности равен произведению $(n-1)$ и $n$.
Таким образом, формула для $n$-го члена: $a_n = (n-1)n = n^2 - n$.
Проверка:
$a_1 = 1^2 - 1 = 0$
$a_2 = 2^2 - 2 = 2$
$a_3 = 3^2 - 3 = 6$
Формула верна.
Ответ: $a_n = n(n-1)$