Номер 16, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 21. Числовые последовательности - номер 16, страница 77.

Условие.

16. Последовательность $(y_n)$ задана формулой n-го члена $y_n = n^2 - 10n - 22$. Сколько членов этой последовательности меньше 17?

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

По условию, последовательность $(y_n)$ задана формулой $y_n = n^2 - 10n - 22$. Чтобы найти, сколько членов этой последовательности меньше 17, нужно решить неравенство $y_n < 17$ относительно $n$, где $n$ — натуральное число.

Составим и решим неравенство:

$n^2 - 10n - 22 < 17$

Перенесем 17 в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$n^2 - 10n - 22 - 17 < 0$

$n^2 - 10n - 39 < 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - 10n - 39 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-39) = 100 + 156 = 256$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$n_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 16}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 16}{2} = \frac{26}{2} = 13$

Графиком функции $y = n^2 - 10n - 39$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше нуля на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства $n^2 - 10n - 39 < 0$ есть интервал $(-3; 13)$, то есть $-3 < n < 13$.

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, $n$ должно быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Найдем все натуральные числа, которые принадлежат интервалу $(-3; 13)$:

$n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$

Подсчитаем количество этих чисел. Всего их 12.

Ответ: 12