Номер 10, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 23. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 10, страница 86.

Условие.

10. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 7,6; 7,4; ...

Решение.

Ответ:

Решение.

Данная последовательность является арифметической прогрессией. Найдем ее основные параметры.

Первый член прогрессии $a_1 = 7,6$.

Найдем разность прогрессии $d$, вычтя из второго члена первый:

$d = 7,4 - 7,6 = -0,2$.

Так как разность отрицательна, прогрессия является убывающей. Чтобы найти сумму всех ее положительных членов, сначала определим, сколько в ней положительных членов. Для этого найдем номер $n$ последнего положительного члена, решив неравенство $a_n > 0$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения и решим неравенство:

$7,6 + (n-1)(-0,2) > 0$

$7,6 - 0,2n + 0,2 > 0$

$7,8 - 0,2n > 0$

$7,8 > 0,2n$

$n < \frac{7,8}{0,2}$

$n < 39$

Следовательно, в прогрессии 38 положительных членов (с $n=1$ по $n=38$).

Теперь нужно найти сумму этих 38 членов. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.

Сначала найдем последний положительный член, $a_{38}$:

$a_{38} = 7,6 + (38-1)(-0,2) = 7,6 + 37 \cdot (-0,2) = 7,6 - 7,4 = 0,2$.

Теперь подставим все значения в формулу суммы:

$S_{38} = \frac{(7,6 + 0,2) \cdot 38}{2} = \frac{7,8 \cdot 38}{2} = 7,8 \cdot 19$.

Вычислим произведение:

$7,8 \cdot 19 = 148,2$.

Ответ: 148,2.