Номер 14, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 23. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 14, страница 88.

Условие.

14. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые меньше 120 и при делении на 7 дают в остатке 4.

Решение.

Указанные натуральные числа образуют арифметическую прогрессию $(a_n)$, разность которой равна __________, а $a_n = $ __________.

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

Ответ: ___________________________________________________________________________________

Решение.

Решение.

Натуральные числа, которые меньше 120 и при делении на 7 дают в остатке 4, образуют арифметическую прогрессию.

Найдем первый член этой прогрессии ($a_1$). Это наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию. Таким числом является 4 (поскольку $4 = 7 \cdot 0 + 4$). Итак, $a_1 = 4$.

Каждое следующее такое число будет на 7 больше предыдущего, следовательно, разность прогрессии $d=7$.

Теперь найдем последний член прогрессии ($a_n$), который меньше 120. Для этого решим неравенство, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_n < 120$

$4 + (n-1) \cdot 7 < 120$

$7(n-1) < 120 - 4$

$7(n-1) < 116$

$n-1 < \frac{116}{7}$

$n-1 < 16,57...$

Так как $n$ — это порядковый номер члена прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Следовательно, $n-1$ — целое неотрицательное число. Наибольшее целое значение, которое может принимать $n-1$, равно 16.

Значит, $n-1=16$, откуда $n=17$. Всего в прогрессии 17 членов.

Найдем последний член прогрессии $a_{17}$:

$a_{17} = a_1 + (17-1)d = 4 + 16 \cdot 7 = 4 + 112 = 116$.

Для нахождения суммы всех этих чисел воспользуемся формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим наши значения:

$S_{17} = \frac{4 + 116}{2} \cdot 17 = \frac{120}{2} \cdot 17 = 60 \cdot 17 = 1020$.

Ответ: 1020.