Номер 13, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 23. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 13, страница 87.

Условие.

13. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и меньших 250.

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Требуется найти сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и меньших 250. Эти числа образуют арифметическую прогрессию.

1. Найдем первый член прогрессии ($a_1$). Это наименьшее натуральное число, кратное 3. Таким образом, $a_1 = 3$.

2. Разность прогрессии ($d$) равна 3, так как мы рассматриваем числа, следующие друг за другом с шагом 3.

3. Найдем последний член прогрессии ($a_n$), который меньше 250. Для этого найдем наибольшее число, меньшее 250, которое делится на 3. Разделим 250 на 3: $250 / 3 = 83$ с остатком 1. Значит, наибольшее кратное 3, меньшее 250, это $250 - 1 = 249$, или $3 \times 83 = 249$. Итак, $a_n = 249$.

4. Теперь найдем количество членов ($n$) в этой прогрессии, используя формулу n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения: $249 = 3 + (n-1) \cdot 3$

$246 = (n-1) \cdot 3$

$n-1 = \frac{246}{3}$

$n-1 = 82$

$n = 83$

Итак, в последовательности 83 числа.

5. Вычислим сумму ($S_n$) всех членов этой прогрессии по формуле суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения: $S_{83} = \frac{3 + 249}{2} \cdot 83 = \frac{252}{2} \cdot 83 = 126 \cdot 83 = 10458$.

Ответ: 10458.