Номер 19, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 23. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 19, страница 90.

Условие.

19. Найдите сумму двадцати четырёх первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_7 + a_9 + a_{15} + a_{19} = 39$.

Решение.

Пусть $d$ - разность данной прогрессии. Тогда

$S_{24} = \frac{2a_1 + 23d}{2} \cdot 24 = 12(2a_1 + 23d)$

Имеем: $a_7 + a_9 + a_{15} + a_{19} = a_1 + 6d + a_1 + 8d + $

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Ответ: ____________________________________________________________________

Решение.

Решение.
Пусть $d$ — разность данной арифметической прогрессии. Тогда формула для суммы первых 24 членов прогрессии имеет вид: $S_{24} = \frac{2a_1 + d(24-1)}{2} \cdot 24 = \frac{2a_1 + 23d}{2} \cdot 24 = 12(2a_1 + 23d)$.

По условию задачи имеем $a_7 + a_9 + a_{15} + a_{19} = 39$. Выразим каждый член этой суммы через первый член прогрессии $a_1$ и разность $d$, используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + d(n-1)$: $a_7 = a_1 + 6d$
$a_9 = a_1 + 8d$
$a_{15} = a_1 + 14d$
$a_{19} = a_1 + 18d$

Подставим эти выражения в исходное равенство: $(a_1 + 6d) + (a_1 + 8d) + (a_1 + 14d) + (a_1 + 18d) = 39$.

Сгруппируем и сложим слагаемые: $4a_1 + (6 + 8 + 14 + 18)d = 39$
$4a_1 + 46d = 39$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки в левой части уравнения: $2(2a_1 + 23d) = 39$.

Отсюда можем выразить значение скобки $2a_1 + 23d$: $2a_1 + 23d = \frac{39}{2}$.

Теперь подставим это значение в формулу для $S_{24}$: $S_{24} = 12(2a_1 + 23d) = 12 \cdot \frac{39}{2}$.

Вычисляем результат: $S_{24} = 6 \cdot 39 = 234$.

Ответ: 234.