Номер 17, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 23. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 17, страница 89.

Условие.

17. Какое наименьшее количество последовательных чётных натуральных чисел, начиная с 2, можно сложить, чтобы получившаяся сумма была больше 342?

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Последовательность чётных натуральных чисел, начиная с 2, представляет собой арифметическую прогрессию: 2, 4, 6, 8, ...
Первый член этой прогрессии $a_1 = 2$, а разность прогрессии $d = 2$.
Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n$ вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$
Подставим значения $a_1=2$ и $d=2$:
$S_n = \frac{2 \cdot 2 + 2(n-1)}{2} \cdot n = \frac{4 + 2n - 2}{2} \cdot n = \frac{2n + 2}{2} \cdot n = n(n+1)$.
Согласно условию задачи, сумма должна быть больше 342:
$S_n > 342$
$n(n+1) > 342$
Решим это квадратичное неравенство:
$n^2 + n - 342 > 0$
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 + n - 342 = 0$.
Используем теорему Виета или формулу для корней. Дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-342) = 1 + 1368 = 1369 = 37^2$.
Корни уравнения:
$n_1 = \frac{-1 - \sqrt{1369}}{2} = \frac{-1 - 37}{2} = -19$
$n_2 = \frac{-1 + \sqrt{1369}}{2} = \frac{-1 + 37}{2} = 18$
Парабола $y = n^2 + n - 342$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $n^2 + n - 342 > 0$ выполняется при $n < -19$ или $n > 18$.
Поскольку $n$ — это количество чисел, оно должно быть натуральным числом, то есть $n \ge 1$.
Следовательно, нам нужно найти наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее условию $n > 18$.
Таким числом является 19.
Проверка:
При $n=18$, сумма $S_{18} = 18 \cdot (18+1) = 18 \cdot 19 = 342$. Это не больше 342.
При $n=19$, сумма $S_{19} = 19 \cdot (19+1) = 19 \cdot 20 = 380$. Это больше 342.
Таким образом, наименьшее количество чисел — 19.

Ответ: 19.