Номер 11, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 23. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 11, страница 87.

Условие.

11. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, кратных 13.

Решение.

Трёхзначные числа, кратные 13, образуют арифметическую прогрессию ($a_n$) с разностью 13, первый член которой равен 104.

Найдём, при каком наибольшем натуральном значении $n$ верно неравенство $a_n < 1000$.

Имеем: $104 + 13(n - 1) < 1000$;

Следовательно, прогрессия ($a_n$) содержит __________ членов.

Ответ:

Решение.

Решение.

Все трёхзначные числа, кратные 13, образуют арифметическую прогрессию ($a_n$), разность которой $d=13$.

Сначала найдём первый член этой прогрессии ($a_1$). Наименьшее трёхзначное число — это 100. Разделим 100 на 13: $100 = 13 \cdot 7 + 9$. Чтобы получить наименьшее трёхзначное число, кратное 13, нужно к 100 прибавить разность $13-9=4$, либо взять следующее кратное после $13 \cdot 7$, то есть $13 \cdot 8$.$a_1 = 13 \cdot 8 = 104$.

Теперь найдём количество членов прогрессии $n$. Все члены должны быть трёхзначными, то есть меньше 1000. Составим и решим неравенство, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + d(n-1)$:

$104 + 13(n - 1) < 1000$

Вычтем 104 из обеих частей:

$13(n - 1) < 896$

Разделим обе части на 13:

$n - 1 < \frac{896}{13}$

$n - 1 < 68\frac{12}{13}$

Прибавим 1 к обеим частям:

$n < 69\frac{12}{13}$

Поскольку $n$ (количество членов) должно быть натуральным числом, наибольшее возможное значение $n$ равно 69. Следовательно, прогрессия ($a_n$) содержит 69 членов.

Далее найдём последний член этой прогрессии, $a_{69}$:

$a_{69} = a_1 + d(69 - 1) = 104 + 13 \cdot 68 = 104 + 884 = 988$.

Наконец, вычислим сумму всех членов прогрессии по формуле суммы $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$:

$S_{69} = \frac{(104 + 988) \cdot 69}{2} = \frac{1092 \cdot 69}{2} = 546 \cdot 69 = 37674$.

Ответ: 37674.