Номер 16, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 23. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 16, страница 88.

Условие.

16. Какое наибольшее количество последовательных натуральных чисел, начиная с 1, можно сложить, чтобы получившаяся сумма была меньше 595?

Решение.

Последовательные натуральные числа образуют арифметическую прогрессию ($a_n$), первый член которой $a_1 = 1$, разность $d = 1$.

Пусть $n$ — искомое количество чисел.

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n = \frac{2 + n - 1}{2} \cdot n = \frac{n(n+1)}{2}$

Следовательно, задача сводится к нахождению наибольшего натурального решения неравенства

Ответ:

Решение.

Решение.

Задача состоит в том, чтобы найти наибольшее натуральное число $n$, для которого сумма первых $n$ натуральных чисел (1 + 2 + 3 + ... + $n$) будет меньше 595.

Последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, ... является арифметической прогрессией, у которой первый член $a_1 = 1$ и разность $d = 1$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии ($S_n$) вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$
или
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставив значения $a_1 = 1$ и $d = 1$, получим формулу для суммы первых $n$ натуральных чисел:
$S_n = \frac{2 \cdot 1 + 1(n-1)}{2} \cdot n = \frac{2 + n - 1}{2} \cdot n = \frac{n(n+1)}{2}$

Согласно условию задачи, эта сумма должна быть меньше 595. Составим и решим неравенство:
$\frac{n(n+1)}{2} < 595$

Умножим обе части неравенства на 2:
$n(n+1) < 1190$
$n^2 + n < 1190$
$n^2 + n - 1190 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $n^2 + n - 1190 = 0$, используя формулу корней квадратного уравнения.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1190) = 1 + 4760 = 4761$
$\sqrt{D} = \sqrt{4761} = 69$
Найдем корни уравнения:
$n_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 69}{2} = \frac{-70}{2} = -35$
$n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 69}{2} = \frac{68}{2} = 34$

Парабола $y = n^2 + n - 1190$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $n^2 + n - 1190 < 0$ выполняется для значений $n$, находящихся между корнями: $-35 < n < 34$.

Поскольку $n$ — это количество натуральных чисел, оно должно быть положительным целым числом ($n \in \mathbb{N}$).
Следовательно, нам нужно найти наибольшее натуральное число $n$, удовлетворяющее условию $n < 34$.
Таким числом является 33.

Проверим:
При $n=33$: $S_{33} = \frac{33 \cdot (33+1)}{2} = \frac{33 \cdot 34}{2} = 33 \cdot 17 = 561$. Так как $561 < 595$, условие выполняется.
При $n=34$: $S_{34} = \frac{34 \cdot (34+1)}{2} = \frac{34 \cdot 35}{2} = 17 \cdot 35 = 595$. Так как $595$ не меньше $595$, условие не выполняется.

Следовательно, наибольшее количество последовательных натуральных чисел, которое можно сложить, равно 33.

Ответ: 33.