Номер 15, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 23. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 15, страница 88.

Условие.

15. Фигура, изображённая на рисунке, составлена из правильных треугольников так, что в верхнем ряду находится один треугольник, а в каждом следующем ряду на 2 треугольника больше, чем в предыдущем. Сколько рядов будет содержать такая фигура, если для её составления использовать 225 треугольников?

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть $n$ — искомое количество рядов в фигуре.

Согласно условию, количество треугольников в каждом ряду образует последовательность. В первом ряду — 1 треугольник, во втором — $1+2=3$ треугольника, в третьем — $3+2=5$ треугольников и так далее.

Эта последовательность является арифметической прогрессией, где:

• первый член прогрессии $a_1 = 1$;
• разность прогрессии $d = 2$.

Общее количество треугольников в фигуре — это сумма первых $n$ членов этой арифметической прогрессии ($S_n$). По условию, $S_n = 225$.

Используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно $n$: $225 = \frac{2 \cdot 1 + (n-1) \cdot 2}{2} \cdot n$ $225 = \frac{2 + 2n - 2}{2} \cdot n$ $225 = \frac{2n}{2} \cdot n$ $225 = n^2$

Чтобы найти $n$, извлечём квадратный корень из 225: $n = \sqrt{225}$ $n = 15$

Так как количество рядов может быть только положительным числом, корень $n = -15$ не рассматриваем.

Таким образом, фигура, для составления которой использовали 225 треугольников, будет содержать 15 рядов.

Можно также заметить, что общее число треугольников в фигуре из $n$ рядов является суммой первых $n$ нечётных чисел, которая, как известно, равна $n^2$. Следовательно, если общее число треугольников равно 225, то число рядов $n$ можно найти из уравнения $n^2 = 225$, откуда $n=15$.

Ответ: 15.