Номер 18, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 23. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 18, страница 90.

Условие.

18. Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 20, а сумма первых одиннадцати членов равна -88. Найдите первый член и разность прогрессии.

Решение.

Пусть $a_1$ — первый член данной прогрессии, $d$ — её разность. Тогда можем записать систему уравнений:

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Согласно условию задачи, сумма первых пяти членов ($S_5$) равна 20, а сумма первых одиннадцати членов ($S_{11}$) равна -88. Составим систему уравнений на основе этих данных:

$ \begin{cases} S_5 = \frac{2a_1 + d(5-1)}{2} \cdot 5 = 20 \\ S_{11} = \frac{2a_1 + d(11-1)}{2} \cdot 11 = -88 \end{cases} $

Упростим каждое уравнение в системе:

$ \begin{cases} \frac{2a_1 + 4d}{2} \cdot 5 = 20 \\ \frac{2a_1 + 10d}{2} \cdot 11 = -88 \end{cases} $

Вынесем 2 за скобки в числителях и сократим:

$ \begin{cases} (a_1 + 2d) \cdot 5 = 20 \\ (a_1 + 5d) \cdot 11 = -88 \end{cases} $

Разделим первое уравнение на 5, а второе на 11, чтобы получить упрощенную систему:

$ \begin{cases} a_1 + 2d = 4 \\ a_1 + 5d = -8 \end{cases} $

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 5d) - (a_1 + 2d) = -8 - 4$

$3d = -12$

$d = \frac{-12}{3} = -4$

Теперь найдём $a_1$, подставив значение $d = -4$ в первое уравнение системы ($a_1 + 2d = 4$):

$a_1 + 2(-4) = 4$

$a_1 - 8 = 4$

$a_1 = 4 + 8 = 12$

Таким образом, мы нашли первый член и разность прогрессии.

Ответ: первый член $a_1 = 12$, разность прогрессии $d = -4$.