Номер 12, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 23. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 12, страница 87.

Условие.

12. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 15, которые больше 80 и меньше 235.

Решение.

Натуральные числа, кратные 15, образуют арифметическую прогрессию $(a_n)$ с разностью _________.

Наименьшее натуральное число, которое кратно 15 и больше 80, равно _________.

Следовательно, $a_1$ = _________.

Ответ:

Решение.

Решение.

Натуральные числа, кратные 15, образуют арифметическую прогрессию ($a_n$), так как разница между любыми двумя последовательными членами постоянна. Эта разность $d$ равна 15.

Нам нужно найти сумму всех членов этой прогрессии, которые находятся в интервале $(80; 235)$.

1. Найдем первый член прогрессии $a_1$, который удовлетворяет условию $a_1 > 80$.
Для этого найдем наименьшее натуральное число, большее 80 и делящееся на 15 без остатка.
Разделим 80 на 15: $80 / 15 \approx 5.33$.
Ближайшее целое число, большее 5.33, — это 6.
Умножим 6 на 15: $6 \cdot 15 = 90$.
Таким образом, первый член прогрессии $a_1 = 90$.

2. Найдем последний член прогрессии $a_n$, который удовлетворяет условию $a_n < 235$.
Для этого найдем наибольшее натуральное число, меньшее 235 и делящееся на 15 без остатка.
Разделим 235 на 15: $235 / 15 \approx 15.66$.
Ближайшее целое число, меньшее 15.66, — это 15.
Умножим 15 на 15: $15 \cdot 15 = 225$.
Таким образом, последний член прогрессии $a_n = 225$.

3. Определим количество членов $n$ в этой прогрессии. Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения $a_n=225$, $a_1=90$ и $d=15$:
$225 = 90 + (n-1) \cdot 15$
$225 - 90 = (n-1) \cdot 15$
$135 = (n-1) \cdot 15$
$n-1 = \frac{135}{15}$
$n-1 = 9$
$n = 10$

4. Вычислим сумму $S_n$ этих 10 членов прогрессии по формуле суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{10} = \frac{90 + 225}{2} \cdot 10$
$S_{10} = \frac{315}{2} \cdot 10$
$S_{10} = 315 \cdot 5$
$S_{10} = 1575$

Ответ: 1575.