Номер 5, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 23. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 5, страница 84.

Условие.

5. Чему равна сумма тридцати первых членов арифметической прогрессии $(x_n)$, если $x_5 = -0,8, x_{11} = -5$?

Решение.

Выразим $x_{11}$ через $x_5$ и разность $d$ прогрессии:

Ответ:

Решение.

Для нахождения суммы тридцати первых членов арифметической прогрессии $S_{30}$ необходимо найти ее первый член $x_1$ и разность $d$.

Сначала найдем разность прогрессии $d$, используя формулу $n$-го члена арифметической прогрессии $x_n = x_m + (n-m)d$ и известные нам значения $x_5 = -0,8$ и $x_{11} = -5$.

$x_{11} = x_5 + (11-5)d$

$-5 = -0,8 + 6d$

Решим уравнение относительно $d$:

$6d = -5 - (-0,8)$

$6d = -5 + 0,8$

$6d = -4,2$

$d = \frac{-4,2}{6} = -0,7$

Теперь, зная разность $d$, найдем первый член прогрессии $x_1$. Воспользуемся формулой $x_n = x_1 + (n-1)d$ для $n=5$:

$x_5 = x_1 + (5-1)d$

Подставим известные значения $x_5$ и $d$:

$-0,8 = x_1 + 4 \cdot (-0,7)$

$-0,8 = x_1 - 2,8$

$x_1 = 2,8 - 0,8$

$x_1 = 2$

Теперь, когда у нас есть первый член $x_1 = 2$ и разность $d = -0,7$, мы можем вычислить сумму тридцати первых членов прогрессии по формуле $S_n = \frac{2x_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$:

$S_{30} = \frac{2 \cdot 2 + (-0,7)(30-1)}{2} \cdot 30$

$S_{30} = (4 + (-0,7) \cdot 29) \cdot 15$

$S_{30} = (4 - 20,3) \cdot 15$

$S_{30} = -16,3 \cdot 15$

$S_{30} = -244,5$

Ответ: $-244,5$