Номер 14, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 22. Арифметическая прогрессия - номер 14, страница 82.

Условие.

14. При каком значении $x$ значения выражений $x^2 - 1$, $x^2 + x + 2$ и $6x + 2$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Решение.

Если значения выражений $x^2 - 1$, $x^2 + x + 2$ и $6x + 2$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, то должно выполняться равенство $2(x^2 + x + 2) = $

Ответ:

Решение.

Пусть данные выражения $a_1 = x^2 - 1$, $a_2 = x^2 + x + 2$ и $a_3 = 6x + 2$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, каждый её член, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов. Это можно записать в виде формулы: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$ или $2a_2 = a_1 + a_3$.

При каком значении x значения выражений будут последовательными членами арифметической прогрессии?

Подставим данные выражения в формулу $2a_2 = a_1 + a_3$ и решим полученное уравнение:

$2(x^2 + x + 2) = (x^2 - 1) + (6x + 2)$

Раскроем скобки:

$2x^2 + 2x + 4 = x^2 + 6x + 1$

Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные члены:

$2x^2 - x^2 + 2x - 6x + 4 - 1 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 1$

$x_2 = 3$

Ответ: $x = 1$ и $x = 3$.

Найдите члены этой прогрессии.

Теперь найдем числовые значения членов прогрессии для каждого из найденных значений $x$.

1. При $x = 1$:

$a_1 = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$

$a_2 = 1^2 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 = 4$

$a_3 = 6 \cdot 1 + 2 = 6 + 2 = 8$

Прогрессия: 0, 4, 8.

2. При $x = 3$:

$a_1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$

$a_2 = 3^2 + 3 + 2 = 9 + 3 + 2 = 14$

$a_3 = 6 \cdot 3 + 2 = 18 + 2 = 20$

Прогрессия: 8, 14, 20.

Ответ: При $x=1$ члены прогрессии: 0, 4, 8. При $x=3$ члены прогрессии: 8, 14, 20.