Номер 13, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: рабочая тетрадь
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Часть: 2
Цвет обложки: голубой
ISBN: 978-5-09-089843-0 (ч.1 2022 г.) 978-5-09-099671-6 (ч. 2 2023 г.)
Популярные ГДЗ в 9 классе
Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 22. Арифметическая прогрессия - номер 13, страница 81.
№13 (с. 81)
Условие. №13 (с. 81)
скриншот условия
 
                                                                                    
                                                                                                                     
                                                                                                                                        13. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если:
1) $a_4 + a_6 = 16$ и $a_7 + a_{13} = 1$;
Решение.
Запишем систему уравнений:
$\begin{cases} a_4 + a_6 = 16, \\ a_7 + a_{13} = 1. \end{cases}$
Выразив $a_4, a_6, a_7, a_{13}$ через $a_1$
и разность $d$ арифметической
прогрессии, получаем:
$\begin{cases} a_1 + 3d + a_1 + 5d = 16, \\ a_1 + + a_1 + = 1. \end{cases}$
Ответ:
2) $a_3 + a_9 = -14$ и $a_4 \cdot a_7 = 27$.
Решение.
Ответ:
Решение. №13 (с. 81)
1)
Дана система уравнений для арифметической прогрессии ($a_n$):
$$ \begin{cases} a_4 + a_6 = 16 \\ a_7 + a_{13} = 1 \end{cases} $$
Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ - первый член, а $d$ - разность прогрессии. Выразим члены прогрессии из системы через $a_1$ и $d$:
$$ \begin{cases} (a_1 + (4-1)d) + (a_1 + (6-1)d) = 16 \\ (a_1 + (7-1)d) + (a_1 + (13-1)d) = 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) = 16 \\ (a_1 + 6d) + (a_1 + 12d) = 1 \end{cases} $$
Упростим систему, приведя подобные слагаемые в каждом уравнении:
$$ \begin{cases} 2a_1 + 8d = 16 \\ 2a_1 + 18d = 1 \end{cases} $$
Разделим обе части первого уравнения на 2:
$$ \begin{cases} a_1 + 4d = 8 \\ 2a_1 + 18d = 1 \end{cases} $$
Выразим $a_1$ из первого уравнения: $a_1 = 8 - 4d$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$2(8 - 4d) + 18d = 1$
$16 - 8d + 18d = 1$
$10d = 1 - 16$
$10d = -15$
$d = -15 / 10 = -1.5$
Теперь найдем $a_1$, подставив найденное значение $d$ в выражение $a_1 = 8 - 4d$:
$a_1 = 8 - 4(-1.5) = 8 + 6 = 14$
Ответ: $a_1 = 14$, $d = -1.5$.
2)
Дана система уравнений для арифметической прогрессии ($a_n$):
$$ \begin{cases} a_3 + a_9 = -14 \\ a_4 \cdot a_7 = 27 \end{cases} $$
Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$, используя формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$$ \begin{cases} (a_1 + 2d) + (a_1 + 8d) = -14 \\ (a_1 + 3d) \cdot (a_1 + 6d) = 27 \end{cases} $$
Упростим первое уравнение:
$2a_1 + 10d = -14$
Разделим обе части на 2:
$a_1 + 5d = -7$
Из этого уравнения выразим $a_1$: $a_1 = -7 - 5d$.
Подставим полученное выражение для $a_1$ во второе уравнение системы:
$(-7 - 5d + 3d) \cdot (-7 - 5d + 6d) = 27$
$(-7 - 2d) \cdot (-7 + d) = 27$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$49 - 7d + 14d - 2d^2 = 27$
Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$-2d^2 + 7d + 49 - 27 = 0$
$-2d^2 + 7d + 22 = 0$
Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:
$2d^2 - 7d - 22 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-22) = 49 + 176 = 225 = 15^2$
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:
$d_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{22}{4} = 5.5$
$d_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$
Получили два возможных значения для разности прогрессии. Для каждого из них найдем соответствующий первый член $a_1$, используя ранее полученную формулу $a_1 = -7 - 5d$.
Случай 1: Если $d = 5.5$
$a_1 = -7 - 5 \cdot 5.5 = -7 - 27.5 = -34.5$
Случай 2: Если $d = -2$
$a_1 = -7 - 5 \cdot (-2) = -7 + 10 = 3$
Таким образом, условию задачи удовлетворяют две арифметические прогрессии.
Ответ: $a_1 = -34.5, d = 5.5$ или $a_1 = 3, d = -2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 13 расположенного на странице 81 для 2-й части к рабочей тетради серии алгоритм успеха 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №13 (с. 81), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), 2-й части ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    