Номер 13, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 22. Арифметическая прогрессия - номер 13, страница 81.

Условие.

13. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

1) $a_4 + a_6 = 16$ и $a_7 + a_{13} = 1$;

Решение.

Запишем систему уравнений:

$\begin{cases} a_4 + a_6 = 16, \\ a_7 + a_{13} = 1. \end{cases}$

Выразив $a_4, a_6, a_7, a_{13}$ через $a_1$

и разность $d$ арифметической

прогрессии, получаем:

$\begin{cases} a_1 + 3d + a_1 + 5d = 16, \\ a_1 + + a_1 + = 1. \end{cases}$

Ответ:

2) $a_3 + a_9 = -14$ и $a_4 \cdot a_7 = 27$.

Решение.

Ответ:

Решение.

1)

Дана система уравнений для арифметической прогрессии ($a_n$):

$$ \begin{cases} a_4 + a_6 = 16 \\ a_7 + a_{13} = 1 \end{cases} $$

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ - первый член, а $d$ - разность прогрессии. Выразим члены прогрессии из системы через $a_1$ и $d$:

$$ \begin{cases} (a_1 + (4-1)d) + (a_1 + (6-1)d) = 16 \\ (a_1 + (7-1)d) + (a_1 + (13-1)d) = 1 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) = 16 \\ (a_1 + 6d) + (a_1 + 12d) = 1 \end{cases} $$

Упростим систему, приведя подобные слагаемые в каждом уравнении:

$$ \begin{cases} 2a_1 + 8d = 16 \\ 2a_1 + 18d = 1 \end{cases} $$

Разделим обе части первого уравнения на 2:

$$ \begin{cases} a_1 + 4d = 8 \\ 2a_1 + 18d = 1 \end{cases} $$

Выразим $a_1$ из первого уравнения: $a_1 = 8 - 4d$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(8 - 4d) + 18d = 1$

$16 - 8d + 18d = 1$

$10d = 1 - 16$

$10d = -15$

$d = -15 / 10 = -1.5$

Теперь найдем $a_1$, подставив найденное значение $d$ в выражение $a_1 = 8 - 4d$:

$a_1 = 8 - 4(-1.5) = 8 + 6 = 14$

Ответ: $a_1 = 14$, $d = -1.5$.

2)

Дана система уравнений для арифметической прогрессии ($a_n$):

$$ \begin{cases} a_3 + a_9 = -14 \\ a_4 \cdot a_7 = 27 \end{cases} $$

Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$, используя формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$$ \begin{cases} (a_1 + 2d) + (a_1 + 8d) = -14 \\ (a_1 + 3d) \cdot (a_1 + 6d) = 27 \end{cases} $$

Упростим первое уравнение:

$2a_1 + 10d = -14$

Разделим обе части на 2:

$a_1 + 5d = -7$

Из этого уравнения выразим $a_1$: $a_1 = -7 - 5d$.

Подставим полученное выражение для $a_1$ во второе уравнение системы:

$(-7 - 5d + 3d) \cdot (-7 - 5d + 6d) = 27$

$(-7 - 2d) \cdot (-7 + d) = 27$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$49 - 7d + 14d - 2d^2 = 27$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$-2d^2 + 7d + 49 - 27 = 0$

$-2d^2 + 7d + 22 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:

$2d^2 - 7d - 22 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-22) = 49 + 176 = 225 = 15^2$

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$d_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{22}{4} = 5.5$

$d_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

Получили два возможных значения для разности прогрессии. Для каждого из них найдем соответствующий первый член $a_1$, используя ранее полученную формулу $a_1 = -7 - 5d$.

Случай 1: Если $d = 5.5$

$a_1 = -7 - 5 \cdot 5.5 = -7 - 27.5 = -34.5$

Случай 2: Если $d = -2$

$a_1 = -7 - 5 \cdot (-2) = -7 + 10 = 3$

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две арифметические прогрессии.

Ответ: $a_1 = -34.5, d = 5.5$ или $a_1 = 3, d = -2$.