Номер 1, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 23. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 1, страница 83.

Условие.

Повторяем теорию

1. Заполните пропуски.

1) Если известны первый и $n$-й члены арифметической прогрессии $(a_n)$, то сумму $n$ первых её членов можно найти по формуле $S_n =$

2) Если известны первый член и разность $d$ арифметической прогрессии $(a_n)$, то сумму $n$ первых её членов можно найти по формуле $S_n =$

Решение.

1) Если известны первый и n-й члены арифметической прогрессии $(a_n)$, то сумму n первых её членов можно найти по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Эта формула основана на свойстве арифметической прогрессии, согласно которому сумма двух членов, равноудаленных от концов прогрессии, постоянна и равна сумме первого и последнего членов: $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$. Записав сумму $S_n$ дважды (в прямом и обратном порядке) и сложив их, получим $2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \dots + (a_n + a_1)$. Так как каждая из $n$ скобок равна $a_1 + a_n$, то $2S_n = n \cdot (a_1 + a_n)$, откуда и следует искомая формула.

Ответ: $\frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

2) Если известны первый член и разность $d$ арифметической прогрессии $(a_n)$, то сумму n первых её членов можно найти по формуле $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Эту формулу можно вывести из предыдущей, подставив в неё формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n-1)$.

Выполним подстановку в формулу $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_n = \frac{a_1 + (a_1 + d(n-1))}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Эта формула удобна, когда n-й член прогрессии неизвестен, но известна её разность.

Ответ: $\frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$