Номер 16, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 22. Арифметическая прогрессия - номер 16, страница 83.

Условие.

16. Докажите, что если числа $a$, $b$ и $c$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, то значения выражений $a^2 + ab + b^2$, $a^2 + ac + c^2$ и $b^2 + bc + c^2$ также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Решение.

Решение.

Поскольку числа $a$, $b$ и $c$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, для них выполняется равенство $b-a = c-b$. Это основное свойство, которое мы будем использовать.

Обозначим данные в условии выражения как $X_1 = a^2 + ab + b^2$, $X_2 = a^2 + ac + c^2$ и $X_3 = b^2 + bc + c^2$. Для того чтобы доказать, что эти три выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии, нам нужно показать, что разность между вторым и первым членом равна разности между третьим и вторым, то есть $X_2 - X_1 = X_3 - X_2$.

Вычислим разность $X_2 - X_1$:
$X_2 - X_1 = (a^2 + ac + c^2) - (a^2 + ab + b^2) = ac + c^2 - ab - b^2$.
Сгруппируем слагаемые и разложим на множители, используя формулу разности квадратов $c^2-b^2 = (c-b)(c+b)$:
$ac - ab + c^2 - b^2 = a(c - b) + (c - b)(c + b) = (c - b)(a + b + c)$.

Теперь вычислим разность $X_3 - X_2$:
$X_3 - X_2 = (b^2 + bc + c^2) - (a^2 + ac + c^2) = b^2 + bc - a^2 - ac$.
Сгруппируем слагаемые и разложим на множители, используя формулу разности квадратов $b^2-a^2 = (b-a)(b+a)$:
$b^2 - a^2 + bc - ac = (b - a)(b + a) + c(b - a) = (b - a)(a + b + c)$.

Итак, мы получили следующие выражения для разностей:
$X_2 - X_1 = (c - b)(a + b + c)$
$X_3 - X_2 = (b - a)(a + b + c)$

Как было сказано в начале, из условия, что $a, b, c$ - последовательные члены арифметической прогрессии, следует, что их разности равны: $c - b = b - a$. Поскольку первые множители $(c-b)$ и $(b-a)$ в правых частях выражений для разностей равны, а вторые множители $(a+b+c)$ одинаковы, то и сами разности равны: $X_2 - X_1 = X_3 - X_2$. Это доказывает, что выражения $a^2 + ab + b^2$, $a^2 + ac + c^2$ и $b^2 + bc + c^2$ также являются последовательными членами арифметической прогрессии, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.