Номер 15, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 22. Арифметическая прогрессия - номер 15, страница 82.

Условие.

15. При каком значении $x$ значения выражений $x - 1$, $2x + 9$, $x^2 + 2x - 11$ и $4 - x$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Решение.

Найдём, при каком значении $x$ значения трёх первых из данных выражений будут последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ:

Решение.

Пусть данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии $(a_n)$. Обозначим их: $a_1 = x - 1$, $a_2 = 2x + 9$, $a_3 = x^2 + 2x - 11$, $a_4 = 4 - x$.

Для того чтобы последовательность была арифметической прогрессией, разность между соседними членами должна быть постоянной. Это означает, что должен выполняться основной признак арифметической прогрессии: каждый член последовательности, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних членов.

Запишем это условие для первых трёх членов: $2a_2 = a_1 + a_3$.

При каком значении x значения выражений будут последовательными членами арифметической прогрессии?

Подставим в уравнение $2a_2 = a_1 + a_3$ соответствующие выражения и решим его: $2(2x + 9) = (x - 1) + (x^2 + 2x - 11)$
$4x + 18 = x^2 + 3x - 12$
$x^2 + 3x - 4x - 12 - 18 = 0$
$x^2 - x - 30 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета. Сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-30$. Следовательно, корнями являются: $x_1 = 6$ и $x_2 = -5$.

Теперь необходимо проверить, при каком из этих значений $x$ все четыре выражения образуют арифметическую прогрессию. Для этого нужно, чтобы разность $a_4 - a_3$ была такой же, как и $a_3 - a_2$.

Проверка для $x = 6$:
$a_1 = 6 - 1 = 5$
$a_2 = 2(6) + 9 = 21$
$a_3 = 6^2 + 2(6) - 11 = 36 + 12 - 11 = 37$
$a_4 = 4 - 6 = -2$
Найдём разности: $a_2 - a_1 = 21 - 5 = 16$; $a_3 - a_2 = 37 - 21 = 16$; $a_4 - a_3 = -2 - 37 = -39$. Так как $16 \neq -39$, значение $x = 6$ не подходит.

Проверка для $x = -5$:
$a_1 = -5 - 1 = -6$
$a_2 = 2(-5) + 9 = -10 + 9 = -1$
$a_3 = (-5)^2 + 2(-5) - 11 = 25 - 10 - 11 = 4$
$a_4 = 4 - (-5) = 4 + 5 = 9$
Найдём разности: $a_2 - a_1 = -1 - (-6) = 5$; $a_3 - a_2 = 4 - (-1) = 5$; $a_4 - a_3 = 9 - 4 = 5$. Все разности равны, значит, последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=5$.

Таким образом, единственное подходящее значение $x$ - это $-5$.

Найдите члены этой прогрессии.

Мы уже вычислили члены прогрессии при проверке значения $x = -5$. Членами этой прогрессии являются числа: $-6, -1, 4, 9$.

Ответ: при $x = -5$; члены прогрессии: $-6, -1, 4, 9$.