Номер 14, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

14 Вычислите:

a) $(5^{-3})^2 : 5^3 \cdot (5^2)^4;$

б) $2^7 \cdot (2^2)^{-5} : (2^{-3})^3.$

а) $(5^{-3})^2 : 5^3 \cdot (5^2)^4$

Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$), а при умножении — складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

1. Сначала упростим выражения, в которых степень возводится в степень:

$(5^{-3})^2 = 5^{-3 \cdot 2} = 5^{-6}$

$(5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8$

2. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$5^{-6} : 5^3 \cdot 5^8$

3. Действия деления и умножения выполняются последовательно слева направо.

Выполним деление: $5^{-6} : 5^3 = 5^{-6 - 3} = 5^{-9}$

Выполним умножение: $5^{-9} \cdot 5^8 = 5^{-9 + 8} = 5^{-1}$

4. Вычислим итоговое значение:

$5^{-1} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

б) $2^7 \cdot (2^2)^{-5} : (2^{-3})^3$

Используем те же свойства степеней, что и в предыдущем пункте.

1. Сначала упростим выражения в скобках:

$(2^2)^{-5} = 2^{2 \cdot (-5)} = 2^{-10}$

$(2^{-3})^3 = 2^{-3 \cdot 3} = 2^{-9}$

2. Подставим упрощенные выражения обратно в пример:

$2^7 \cdot 2^{-10} : 2^{-9}$

3. Выполняем действия в порядке их следования, слева направо.

Выполним умножение: $2^7 \cdot 2^{-10} = 2^{7 + (-10)} = 2^{7-10} = 2^{-3}$

Выполним деление: $2^{-3} : 2^{-9} = 2^{-3 - (-9)} = 2^{-3 + 9} = 2^6$

4. Вычислим итоговое значение:

$2^6 = 64$

Ответ: $64$